题目
【题目】-|||-设总体 sim N(0,1) ,样本X1,X2,···,x5来自总体X,试求系数C,使统计-|||-量 dfrac (C({X)_(1)+(X)_(2))}(sqrt {{{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2}} 服从t分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定分子的分布
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都是来自标准正态分布 $N(0,1)$ 的样本，因此 $X_1 + X_2$ 也服从正态分布。具体来说，$X_1 + X_2 \sim N(0, 2)$。因此，$C(X_1 + X_2)$ 也服从正态分布，即 $C(X_1 + X_2) \sim N(0, 2C^2)$。
步骤 2：确定分母的分布
$X_3^2, X_4^2, X_5^2$ 都是来自标准正态分布的平方，因此它们都服从自由度为1的卡方分布，即 $X_3^2, X_4^2, X_5^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$ 服从自由度为3的卡方分布，即 $X_3^2 + X_4^2 + X_5^2 \sim \chi^2(3)$。所以，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$ 服从自由度为3的卡方分布的平方根，即 $\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2} \sim \sqrt{\chi^2(3)}$。
步骤 3：确定统计量的分布
根据t分布的定义，如果 $Z \sim N(0,1)$ 且 $V \sim \chi^2(n)$，则 $\frac{Z}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。因此，为了使统计量 $\frac{C(X_1 + X_2)}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}}$ 服从t分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从标准正态分布，即 $C(X_1 + X_2) \sim N(0, 1)$。因此，$2C^2 = 1$，解得 $C = \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$。
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都是来自标准正态分布 $N(0,1)$ 的样本，因此 $X_1 + X_2$ 也服从正态分布。具体来说，$X_1 + X_2 \sim N(0, 2)$。因此，$C(X_1 + X_2)$ 也服从正态分布，即 $C(X_1 + X_2) \sim N(0, 2C^2)$。
步骤 2：确定分母的分布
$X_3^2, X_4^2, X_5^2$ 都是来自标准正态分布的平方，因此它们都服从自由度为1的卡方分布，即 $X_3^2, X_4^2, X_5^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$ 服从自由度为3的卡方分布，即 $X_3^2 + X_4^2 + X_5^2 \sim \chi^2(3)$。所以，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$ 服从自由度为3的卡方分布的平方根，即 $\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2} \sim \sqrt{\chi^2(3)}$。
步骤 3：确定统计量的分布
根据t分布的定义，如果 $Z \sim N(0,1)$ 且 $V \sim \chi^2(n)$，则 $\frac{Z}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$。因此，为了使统计量 $\frac{C(X_1 + X_2)}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}}$ 服从t分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从标准正态分布，即 $C(X_1 + X_2) \sim N(0, 1)$。因此，$2C^2 = 1$，解得 $C = \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$。