四、设总体X具有分布律-|||-x 1 2 3-|||-P θ θ(1-θ) (1-θ)^2-|||-其中 theta (0lt theta lt 1) 是未知参数,利用总体X的如下样本值1,3,2,1,2,-|||-求θ的最大似然估计值.

步骤 1：建立似然函数
根据题目给出的样本值1,3,2,1,2，我们可以建立似然函数。样本值1出现了2次，样本值2出现了2次，样本值3出现了1次。因此，似然函数为：
$$ L(\theta) = \theta^2 \cdot (1-\theta)^2 \cdot \theta(1-\theta) $$
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$ \ln L(\theta) = 2\ln\theta + 2\ln(1-\theta) + \ln\theta + \ln(1-\theta) $$
$$ \ln L(\theta) = 3\ln\theta + 3\ln(1-\theta) $$
步骤 3：求导数并令其等于零
为了找到最大似然估计值，我们需要对对数似然函数求导，并令导数等于零：
$$ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{3}{\theta} - \frac{3}{1-\theta} $$
令导数等于零，得到：
$$ \frac{3}{\theta} - \frac{3}{1-\theta} = 0 $$
$$ \frac{3}{\theta} = \frac{3}{1-\theta} $$
$$ \theta = 1-\theta $$
$$ 2\theta = 1 $$
$$ \theta = \frac{1}{2} $$