39.某物体的温度T(以^circF计)是随机变量，且有T~N(98.6,2),已知Theta =(5)/(9)(T-32),试求Theta(以^circC计)的概率密度.
题目解答
答案
已知 $T \sim N(98.6, 2)$，即 $T$ 的概率密度函数为：
$f_T(t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{(t-98.6)^2}{4}}$
令 $\Theta = \frac{5}{9}(T-32)$，则 $\Theta$ 的分布函数为：
$F_\Theta(y) = P\left(T \leq \frac{9}{5}y + 32\right)$
对 $F_\Theta(y)$ 求导得概率密度：
$f_\Theta(y) = f_T\left(\frac{9}{5}y + 32\right) \cdot \frac{9}{5}$
代入 $f_T(t)$ 并化简指数部分：
$f_\Theta(y) = \frac{9}{10\sqrt{\pi}} e^{-\frac{81(y-37)^2}{100}}$
或者，利用正态分布性质，$\Theta$ 服从 $N\left(37, \frac{50}{81}\right)$，其概率密度函数为：
$f_\Theta(y) = \frac{9}{10\sqrt{\pi}} e^{-\frac{81(y-37)^2}{100}}$
答案：
$\boxed{\frac{9}{10\sqrt{\pi}} e^{-\frac{81(y-37)^2}{100}}}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质及概率密度函数的求解方法。
解题核心思路：
- 正态分布的线性变换：若随机变量$T \sim N(\mu, \sigma^2)$，则线性变换$\Theta = aT + b$仍服从正态分布，其均值和方差可直接通过参数变换得到。
- 概率密度函数的变量替换法：通过分布函数法或直接应用概率密度变换公式，结合正态分布的密度函数形式，推导出$\Theta$的概率密度。
破题关键点：
- 确定线性变换参数：将$\Theta = \frac{5}{9}(T - 32)$转化为$\Theta = aT + b$的形式，计算新均值和方差。
- 正确应用概率密度变换公式：注意变量替换后的导数项（雅可比行列式）。
步骤1：确定$\Theta$的分布参数
已知$T \sim N(98.6, 2)$，即均值$\mu_T = 98.6$，方差$\sigma_T^2 = 2$。
根据$\Theta = \frac{5}{9}(T - 32)$，可得：
- 均值：$\mu_\Theta = \frac{5}{9}(\mu_T - 32) = \frac{5}{9}(98.6 - 32) = 37$
- 方差：$\sigma_\Theta^2 = \left(\frac{5}{9}\right)^2 \sigma_T^2 = \frac{25}{81} \times 2 = \frac{50}{81}$
因此，$\Theta \sim N\left(37, \frac{50}{81}\right)$。
步骤2：写出正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数为：
$f_\Theta(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_\Theta^2}} e^{-\frac{(y - \mu_\Theta)^2}{2\sigma_\Theta^2}}$
代入$\mu_\Theta = 37$和$\sigma_\Theta^2 = \frac{50}{81}$：
$f_\Theta(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot \frac{50}{81}}} e^{-\frac{(y - 37)^2}{2 \cdot \frac{50}{81}}}$
步骤3：化简表达式
- 分母化简：
$\sqrt{2\pi \cdot \frac{50}{81}} = \sqrt{\frac{100\pi}{81}} = \frac{10}{9}\sqrt{\pi}$ - 指数部分化简：
$-\frac{(y - 37)^2}{2 \cdot \frac{50}{81}} = -\frac{81(y - 37)^2}{100}$ - 整体代入：
$f_\Theta(y) = \frac{9}{10\sqrt{\pi}} e^{-\frac{81(y - 37)^2}{100}}$