设总体 X sim N(mu, sigma^2)，mu 已知，通过样本 X_1, X_2, ldots, X_n，求总体方差 sigma^2 的置信区间，采用的样本的函数为().A. (overline(X) - mu)/(sigma / sqrt(n))B. (overline(X) - mu)/(S / sqrt(n))C. sum_(i=1)^n ((X_i - overline(X))^2)/(sigma^2)D. sum_(i=1)^n ((X_i - mu)^2)/(sigma^2)

本题考查正态总体方差置信区间的构造，解题的关键在于找到一个与总体方差 $\sigma^2$ 相关且其分布已知的样本函数。

对各选项的分析

• 选项A：
  已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，将其标准化可得 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$。此统计量服从标准正态分布，它主要用于与总体均值 $\mu$ 相关的推断，并不直接涉及总体方差 $\sigma^2$ 的信息，所以不能用于构造总体方差 $\sigma^2$ 的置信区间。
• 选项B：
  样本标准差 $S = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}$，统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布，即 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n - 1)$。该统计量同样是用于与总体均值 $\mu$ 相关的推断，且涉及样本标准差 $S$ 而非总体方差 $\sigma^2$，因此也不能用于构造总体方差 $\sigma^2$ 的置信区间。
• 选项C：
  根据卡方分布的定义，若 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$，则 $\sum_{i = 1}^{n}X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布 $\chi^2(n)$。对于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \sim N(0,1)$，所以 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$。然而，该统计量使用的是样本均值 $\overline{X}$，而题目中已知总体均值 $\mu$，所以此统计量不符合本题要求，不能用于构造总体方差 $\sigma^2$ 的置信区间。
• 选项D：
  因为总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，所以 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，$i = 1, 2, \ldots, n$。又因为 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立，根据卡方分布的定义可知，$\sum_{i = 1}^{n} \frac{(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$。该统计量与总体方差 $\sigma^2$ 相关，且其分布为自由度为 $n$ 的卡方分布，同时使用了已知的总体均值 $\mu$，符合构造总体方差 $\sigma^2$ 置信区间的要求。