某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米近似地服从正态分布m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米，经计算第(1)问中样本标准差m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米的近似值为50。用样本平均数overline(x)作为m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米的近似值，用样本标准差m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米作为m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米，则m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米，m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米，m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米.(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格(从m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米到m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米)若掷出反面遥控车向前移动两格(从m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米到m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米)，直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时，游戏结束。设遥控车移到第m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米格的概率为P试证明m能-|||-0.009 ----|||-0.004 ------|||-0.002-|||-0.001-|||-0 180230280330380430 单次最大续航里程/千米是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。
某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程
近似地服从正态分布
，经计算第(1)问中样本标准差
的近似值为50。用样本平均数$$\overline{x}$$作为
的近似值，用样本标准差作为
的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布
，则
，
，
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格(从
到
)若掷出反面遥控车向前移动两格(从到
)，直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时，游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为P试证明
是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。
题目解答
答案
(1)估计100辆汽车的单词最大续航里程的平均值为：$$205\times 0.002\times 50+255\times 0.004\times 50+$$$$305\times 0.009\times 50+355\times 0.004\times 50+$$$$405\times 0.001\times 50=300$$
(2)因为X服从正态分布$$N(300,50^2)$$
$$\therefore$$它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为：$$P(250
(3)通控车开始在第0格为必然事件，其概率为$$P_0=1$$ ,
第一次掷硬币出现正面.遥控车移到第一格.其概率为$$P_1=\frac{1}{2}$$.
遥控车移到第n($$2\leqslant n\leqslant 19$$)格的有且仅有两种：
①遥控车先到第n-2格，又掷出反面，其概率为$$\frac{1}{2} P_{n-2}$$
②遥控车先到第n-1格，又掷出正面，其概率为$$\frac{1}{2} P_{n-1}$$
$$\therefore$$$$P_n=$$$$\frac{1}{2} P_{n-2}$$+$$\frac{1}{2} P_{n-1}$$
$$\therefore$$$$P_n-P_{n-1}=-\frac{1}{2} (P_{n-1}-P_{n-2})$$
$$\therefore$$当$$1\leqslant n\leqslant 19$$时，数列$$\{P_n-P_{n-1}\}$$是公比为$$-\frac{1}{2}$$的等比数列
$$\therefore$$$$P_1-1=-\frac{1}{2}$$，$$P_2-P_1=(-\frac{1}{2} )^2$$,$$P_3-P_2=(-\frac{1}{2} )^3$$,....,$$P_n-P_{n-1}=(-\frac{1}{2} )^n$$
以上各式相加，得：
$$P_n-1=-\frac{1}{2} +(-\frac{1}{2} )^2+(-\frac{1}{2} )^3+...+(-\frac{1}{2} )^n$$$$=(-\frac{1}{3})[1-(-\frac{1}{2} )^n]$$
$$\therefore$$$$P_n=\frac{2}{3}[1-(-\frac{1}{2} )^{n+1}]$$,(n=1,2,3....,19)
$$\therefore$$获胜的概率$$P_{19}=\frac{2}{3} [1-(-\frac{1}{2} )^{20}]$$，失败的概率为$$P_{20}=\frac{1}{2} P_{18}=\frac{1}{3} [1+(\frac{1}{2} )^{19}]$$
设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X万元，X=0或3，
$$\therefore$$X的期望：$$E(X)=3\cdot \frac{2}{3} [1-(\frac{1}{2} )^{20}]$$$$+0\cdot \frac{1}{3} [1-(\frac{1}{2} )^{19}]$$$$=2 [1-(\frac{1}{2} )^{20}]$$
$$\therefore$$参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望为$$2[1-(\frac{1}{2} )^{20}]$$,约2万元