10. (5.0分) 10.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(μ,σ²)，则P(|X-Y|A. 与μ无关，与σ²有关B. 与μ有关，与σ²无关C. 与μ，σ²都有关D. 与μ，σ²都无关

本题考查正态分布的性质以及随机变量的线性组合的分布，解题的关键在于先求出$X - Y$的分布，再将$P\{|X - Y| \lt 1\}$进行标准化处理，最后分析其与$\mu$和$\sigma^2$的关系。

1. 求$X - Y$的分布：
   已知随机变量$X$与$Y$相互独立，且都服从正态分布$N(\mu, \sigma\sigma^2)$。
   根据正态分布的性质：若$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X$与$Y$相互独立，则$aX + bY\sim N(a\mu_1 + b\mu_2,a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$。
   对于$X - Y$，这里$a = 1$，$b = -1$，$\mu_1 = \mu_2 = \mu$，$\sigma^\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$，可得$X - Y\sim N(\mu - \mu,1^2\times\sigma^2 + (-1)^2\times\sigma^2)=N(0,2\sigma^2)$。
2. 对$P\{|X - Y| \lt 1\}$进行标准化处理：
   设$Z = X - Y$，则$Z\sim N(0,2\sigma^2)$，根据正态分布的标准化公式$Z\sim N(\mu,\sigma^2)$时，$\frac{Z - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，对$P\{|X - Y| \lt 1\}$进行转化：
   $P\{|X - Y| \lt 1\}=P\{-1 \lt X - Y \lt 1\}=P\{-1 \lt Z \lt 1\}$
   $=P\left\{-\frac{1 - 0}{\sqrt{2\sigma^2}} \lt \frac{Z - 0}{\sqrt{2\sigma^2}} \lt \frac{1 - 0}{\sqrt{2\sigma^2}}\right\}=P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \lt \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} \lt \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right\}$
   令$T=\frac{Z}{\sqrt{2}\sigma}$，则$T\sim N(0,1)$，所以$P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \lt \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} \lt \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right\}=P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \lt T \lt \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right\}$
   $=\varPhi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right)-\varPhi\left(-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right)$，其中$\varPhi(x)$是标准正态分布的分布函数。
3. 分析与$\mu$和$\sigma^2$的关系：
   从$P\{|X - Y| \lt 1\}=\varPhi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right)-\varPhi\left(-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right)$可以看出，该概率值与$\mu$无关，与$\sigma^2$有关。