设X1,X2,···,X13是来自正态总体X1,X2,···,X13的一个样本,且已知随机变量X1,X2,···,X13服从自由度为2的X1,X2,···,X13分布,求X1,X2,···,X13的值.

本题主要考察正态分布的性质以及卡方分布的定义，具体思路如下：

步骤1：正态分布的线性组合性质

由于$X_1,X_2,\cdots,X_{13}$是来自$N(0,1)$的独立样本，根据正态分布的性质：

• 独立正态变量的线性组合仍为正态分布，且均值为各变量均值的线性组合，方差为各变量方差的线性组合（因独立，协方差为0）。

对于$\sum_{i=1}^4 X_i$：

• 均值：$E(\sum_{i=1}^4 X_i)=\sum_{i=1}^4 E(X_i)=0$（因$E(X_i)=0$）
• 方差：$D(\sum_{i=1}^4 X_i)=\sum_{i=1}^4 D(X_i)=4$（因$D(X_i)=1$且独立）
  故$\sum_{i=1}^4 X_i \sim N(0,4)$。

步骤2：标准化正态变量

卡方分布的定义是：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$是独立的$N(0,1)$变量，则$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$（自由度为$n$）。

为了将$\sum_{i=1}^4 X_i$转化为$N(0,1)$变量，需标准化：
$\frac{1}{\sqrt{D(\sum_{i=1}^4 X_i)}} \sum_{i=1}^4 X_i = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^4 X_i \sim N(0,1)$
同理，$\sum_{i=5}^{13} X_i \sim N(0,9)$（均值0，方差$13-4=9$），标准化得：
$\frac{1}{3} \sum_{i=5}^{13} X_i \sim N(0,1)$

步骤3：卡方分布的构造

由于$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4 X_i$与$\frac{1}{3}\sum_{i=5}^{13} X_i$独立，根据卡方分布定义：
$\left(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4 X_i\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\sum_{i=5}^{13} X_i\right)^2 \sim \chi^2(2)$

步骤4：确定$a$和$b$

对比题目给出的$Y=a\left(\sum_{i=1}^4 X_i\right)^2 + b\left(\sum_{i=5}^{13} X_i\right)^2$，可知：
$a = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad b = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$