8.(填空题，10分)设A是三阶方阵，|A|=8，则：a_(11)A_(11)+a_(12)A_(12)+a_(13)A_(13)=____，2a_(31)A_(11)+2a_(32)A_(12)+2a_(33)A_(13)=____其中A_(ij)为a_(ij)的代数余子式.（1）8（2）0
题目解答
答案
-
第一个表达式
根据行列式按行展开定理，矩阵 $ A $ 的行列式等于任意一行元素与其代数余子式乘积之和。已知 $ |A| = 8 $，
$a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = |A| = 8.$ -
第二个表达式
提取公因数 2，得
$2(a_{31}A_{11} + a_{32}A_{12} + a_{33}A_{13}).$
该和表示第三行元素与第一行代数余子式乘积之和，对应行列式中两行相同（第三行等于第一行），行列式为零。
$a_{31}A_{11} + a_{32}A_{12} + a_{33}A_{13} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 0 = 0.$
答案：
- $ 8 $
- $ 0 $
解析
本题主要考查行列式按行展开定理以及行列式的性质。
对于第一个空
根据行列式按行展开定理：设$A=(a_{ij})$是$n$阶方阵，$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式，则$\vert A\vert=\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}$（$i = 1,2,\cdots,n$），即矩阵$A$的行列式等于任意一行元素与其代数余子式乘积之和。
已知$A$是三阶方阵，$\vert A\vert = 8$，当$i = 1$时，$a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=\vert A\vert = 8$。
对于第二个空
首先，对$2a_{31}A_{11}+2a_{32}A_{12}+2a_{33}A_{13}$提取公因数$2$，可得$2(a_{31}A_{11}+a_{32}A_{12}+a_{33}A_{13})$。
根据行列式的性质：若行列式中有两行元素对应相等，则此行列式的值为$0$。$a_{31}A_{11}+a_{32}A_{12}+a_{33}A_{13}$表示的是矩阵$A$的第三行元素与第一行元素的代数余子式乘积之和，相当于把行列式$\vert A\vert$的第一行元素换成第三行元素后再按第一行展开，此时行列式的第一行和第三行元素相同，所以$a_{31}A_{11}+a_{32}A_{12}+a_{33}A_{13}=0$。
那么$2a_{31}A_{11}+2a_{32}A_{12}+2a_{33}A_{13}=2\times0 = 0$。