题目
设_(1),(X)_(2),(X)_(3)是来自总体_(1),(X)_(2),(X)_(3)的一个样本,且_(1),(X)_(2),(X)_(3),则下面的估计量中为_(1),(X)_(2),(X)_(3)的无偏估计量的是( ABD),其中方差最小的估计量是( )A. _(1),(X)_(2),(X)_(3) B. _(1),(X)_(2),(X)_(3) C. _(1),(X)_(2),(X)_(3) D. _(1),(X)_(2),(X)_(3)
设
是来自总体
的一个样本,且
,则下面的估计量中为
的无偏估计量的是( ABD),其中方差最小的估计量是( )
B.
C.
D.
题目解答
答案
B. $\mu =\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {1}{4}{X}_{2}+\dfrac {5}{12}{X}_{3}$
解析
步骤 1：确定无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于给定的估计量 $\mu = aX_1 + bX_2 + cX_3$，要成为无偏估计量，必须满足 $E(\mu) = E(aX_1 + bX_2 + cX_3) = aE(X_1) + bE(X_2) + cE(X_3) = u$。由于 $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = u$，所以需要 $a + b + c = 1$。
步骤 2：验证每个选项
A. $\mu = \dfrac{1}{5}X_1 + \dfrac{3}{10}X_2 + \dfrac{1}{2}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{5}u + \dfrac{3}{10}u + \dfrac{1}{2}u = u$，所以是无偏估计量。
B. $\mu = \dfrac{1}{3}X_1 + \dfrac{1}{4}X_2 + \dfrac{5}{12}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{3}u + \dfrac{1}{4}u + \dfrac{5}{12}u = u$，所以是无偏估计量。
C. $\mu = \dfrac{1}{3}X_1 + \dfrac{3}{4}X_2 + \dfrac{1}{12}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{3}u + \dfrac{3}{4}u + \dfrac{1}{12}u = u$，所以是无偏估计量。
D. $\mu = \dfrac{1}{3}X_1 + \dfrac{3}{4}X_2 - \dfrac{1}{12}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{3}u + \dfrac{3}{4}u - \dfrac{1}{12}u = u$，所以是无偏估计量。
步骤 3：计算方差
方差最小的估计量是方差最小的无偏估计量。对于无偏估计量 $\mu = aX_1 + bX_2 + cX_3$，其方差为 $D(\mu) = a^2D(X_1) + b^2D(X_2) + c^2D(X_3) = (a^2 + b^2 + c^2)\sigma^2$。
A. $D(\mu) = (\dfrac{1}{5}^2 + \dfrac{3}{10}^2 + \dfrac{1}{2}^2)\sigma^2 = \dfrac{37}{100}\sigma^2$
B. $D(\mu) = (\dfrac{1}{3}^2 + \dfrac{1}{4}^2 + \dfrac{5}{12}^2)\sigma^2 = \dfrac{1}{3}\sigma^2$
C. $D(\mu) = (\dfrac{1}{3}^2 + \dfrac{3}{4}^2 + \dfrac{1}{12}^2)\sigma^2 = \dfrac{109}{144}\sigma^2$
D. $D(\mu) = (\dfrac{1}{3}^2 + \dfrac{3}{4}^2 + \dfrac{1}{12}^2)\sigma^2 = \dfrac{109}{144}\sigma^2$
步骤 4：确定方差最小的估计量
比较方差，B选项的方差最小，为 $\dfrac{1}{3}\sigma^2$。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于给定的估计量 $\mu = aX_1 + bX_2 + cX_3$，要成为无偏估计量，必须满足 $E(\mu) = E(aX_1 + bX_2 + cX_3) = aE(X_1) + bE(X_2) + cE(X_3) = u$。由于 $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = u$，所以需要 $a + b + c = 1$。
步骤 2：验证每个选项
A. $\mu = \dfrac{1}{5}X_1 + \dfrac{3}{10}X_2 + \dfrac{1}{2}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{5}u + \dfrac{3}{10}u + \dfrac{1}{2}u = u$，所以是无偏估计量。
B. $\mu = \dfrac{1}{3}X_1 + \dfrac{1}{4}X_2 + \dfrac{5}{12}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{3}u + \dfrac{1}{4}u + \dfrac{5}{12}u = u$，所以是无偏估计量。
C. $\mu = \dfrac{1}{3}X_1 + \dfrac{3}{4}X_2 + \dfrac{1}{12}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{3}u + \dfrac{3}{4}u + \dfrac{1}{12}u = u$，所以是无偏估计量。
D. $\mu = \dfrac{1}{3}X_1 + \dfrac{3}{4}X_2 - \dfrac{1}{12}X_3$
$E(\mu) = \dfrac{1}{3}u + \dfrac{3}{4}u - \dfrac{1}{12}u = u$，所以是无偏估计量。
步骤 3：计算方差
方差最小的估计量是方差最小的无偏估计量。对于无偏估计量 $\mu = aX_1 + bX_2 + cX_3$，其方差为 $D(\mu) = a^2D(X_1) + b^2D(X_2) + c^2D(X_3) = (a^2 + b^2 + c^2)\sigma^2$。
A. $D(\mu) = (\dfrac{1}{5}^2 + \dfrac{3}{10}^2 + \dfrac{1}{2}^2)\sigma^2 = \dfrac{37}{100}\sigma^2$
B. $D(\mu) = (\dfrac{1}{3}^2 + \dfrac{1}{4}^2 + \dfrac{5}{12}^2)\sigma^2 = \dfrac{1}{3}\sigma^2$
C. $D(\mu) = (\dfrac{1}{3}^2 + \dfrac{3}{4}^2 + \dfrac{1}{12}^2)\sigma^2 = \dfrac{109}{144}\sigma^2$
D. $D(\mu) = (\dfrac{1}{3}^2 + \dfrac{3}{4}^2 + \dfrac{1}{12}^2)\sigma^2 = \dfrac{109}{144}\sigma^2$
步骤 4：确定方差最小的估计量
比较方差，B选项的方差最小，为 $\dfrac{1}{3}\sigma^2$。