题目
4.已知某种材料的抗压强度 sim N(mu ,(sigma )^2) ,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测-|||-得数据如下:-|||-482,493,457,471,510,446,435,418,394,469.-|||-(1)求平均抗压强度μ的置信水平为0.95的置信区间;-|||-(2)若已知 sigma =30 ,求平均抗压强度μ的置信水平为0.95的置信区间;-|||-(3)求σ的置信水平为0.95的置信区间.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查正态总体参数的置信区间估计，涉及均值μ和方差σ²的区间估计方法，需根据已知条件选择合适的分布（t分布、正态分布、卡方分布）。
解题核心思路：
- 均值μ的估计：
- σ未知（第1问）：用样本方差s²代替σ²，采用t分布，公式为 $\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)$。
- σ已知（第2问）：直接使用正态分布，公式为 $\overline{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}$。
- 方差σ²的估计（第3问）：利用卡方分布，公式为 $\left( \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}} \right)$。
破题关键：明确不同条件下使用的分布类型及对应的分位数，正确代入公式计算。
第（1）题：σ未知时μ的置信区间
- 确定分布与分位数：
样本量$n=10$，自由度$n-1=9$，置信水平$1-\alpha=0.95$，查t表得 $t_{0.025}(9)=2.2622$。 - 计算标准误差：
$\frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{35.22}{\sqrt{10}} \approx 11.15$。 - 构造区间：
$\overline{X} \pm t_{0.025}(9) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 457.5 \pm 2.2622 \times 11.15 \approx (432.30, 482.70)$。
第（2）题：σ已知时μ的置信区间
- 确定分布与分位数：
已知$\sigma=30$，置信水平$1-\alpha=0.95$，查正态分布表得 $z_{0.025}=1.96$。 - 计算标准误差：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{30}{\sqrt{10}} \approx 9.4868$。 - 构造区间：
$\overline{X} \pm z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 457.5 \pm 1.96 \times 9.4868 \approx (438.91, 476.09)$。
第（3）题：σ的置信区间
- 确定卡方分位数：
自由度$n-1=9$，查卡方表得 $\chi^2_{0.025}(9)=19.023$，$\chi^2_{0.975}(9)=2.700$。 - 计算区间下界：
$\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025}(9)}} = \sqrt{\frac{9 \times 1240.28}{19.023}} \approx 24.22$。 - 计算区间上界：
$\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975}(9)}} = \sqrt{\frac{9 \times 1240.28}{2.700}} \approx 64.30$。