1.设总体概率函数如下,x1,x2,···,xn是样本,试求未知参数的最大似然估计.-|||-(1) (x:theta )=sqrt (theta )(x)^sqrt (theta -1) lt xlt 1 ,θ>0;

步骤 1：写出似然函数
似然函数 $L(\theta)$ 是概率密度函数 $P(x;\theta)$ 在给定样本 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 下的乘积，即
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} P(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \sqrt{\theta} x_i^{\sqrt{\theta} - 1}
$$
步骤 2：写出对数似然函数
对数似然函数 $\ln L(\theta)$ 是似然函数的自然对数，即
$$
\ln L(\theta) = \ln \left( \prod_{i=1}^{n} \sqrt{\theta} x_i^{\sqrt{\theta} - 1} \right) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \sqrt{\theta} x_i^{\sqrt{\theta} - 1} \right)
$$
步骤 3：对对数似然函数求导
对对数似然函数 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，得到
$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left( \frac{n}{2} \ln \theta + (\sqrt{\theta} - 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i \right)
$$
步骤 4：求导数为0的点
令导数为0，得到
$$
\frac{n}{2\theta} + \frac{1}{2\sqrt{\theta}} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0
$$
步骤 5：求解未知参数
解上述方程，得到
$$
\theta = \left( \frac{2}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i} \right)^2
$$