题目

8.设X~N(-1,3²)，且Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987，Φ(1.5)=0.9332，Φ(1)=0.8413，Φ(0.5)=0.6915，则P(X<0.5)=____，P(0.5<2)=____.(写成小数)

8.设X~N(-1,3²)，且Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987，Φ(1.5)=0.9332，Φ(1)=0.8413，Φ(0.5)=0.6915，则P{X<0.5}=____，P{0.5<2}=____.(写成小数)

题目解答

答案

为了求解 $ P\{X < 0.5\} $ 和 $ P\{0.5 < X < 2\} $，我们首先需要将正态随机变量 $ X $ 转换为标准正态随机变量 $ Z $。给定 $ X \sim N(-1, 3^2) $，即 $ X $ 服从均值为 $-1$，方差为 $9$ 的正态分布。标准正态变量 $ Z $ 的定义为： \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X + 1}{3} \] ### 求 $ P\{X < 0.5\} $ 1. 将 $ X = 0.5 $ 转换为 $ Z $： \[ Z = \frac{0.5 + 1}{3} = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] 2. 利用标准正态分布表找到 $ \Phi(0.5) $： \[ \Phi(0.5) = 0.6915 \] 因此， $ P\{X < 0.5\} = \Phi(0.5) = 0.6915 $。 ### 求 $ P\{0.5 < X < 2\} $ 1. 将 $ X = 0.5 $ 转换为 $ Z_1 $： \[ Z_1 = \frac{0.5 + 1}{3} = 0.5 \] 2. 将 $ X = 2 $ 转换为 $ Z_2 $： \[ Z_2 = \frac{2 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] 3. 利用标准正态分布表找到 $ \Phi(1) $ 和 $ \Phi(0.5) $： \[ \Phi(1) = 0.8413 \] \[ \Phi(0.5) = 0.6915 \] 4. 计算 $ P\{0.5 < X < 2\} $： \[ P\{0.5 < X < 2\} = \Phi(1) - \Phi(0.5) = 0.8413 - 0.6915 = 0.1498 \] ### 最终答案 \[ P\{X < 0.5\} = \boxed{0.6915} \] \[ P\{0.5 < X < 2\} = \boxed{0.1498} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，需要掌握标准化变换及标准正态分布函数Φ的使用。

解题核心思路：

  1. 标准化转换：将非标准正态变量X转化为标准正态变量Z，公式为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
  2. 利用Φ函数：根据题目给定的Φ值，直接计算对应区间的概率。
  3. 区间概率拆分：对于连续区间概率，需拆分为两个单侧概率之差。

破题关键点：

  • 正确代入标准化公式，注意均值μ和标准差σ的符号。
  • 准确对应Φ值，避免混淆不同Z值对应的概率。

求$P\{X < 0.5\}$

  1. 标准化转换：
    $Z = \frac{0.5 - (-1)}{3} = \frac{1.5}{3} = 0.5$
  2. 查Φ值：
    $\Phi(0.5) = 0.6915$
    因此，$P\{X < 0.5\} = 0.6915$。

求$P\{0.5 < X < 2\}$

  1. 标准化转换：
    • 当$X = 0.5$时，$Z_1 = 0.5$（同上）。
    • 当$X = 2$时，$Z_2 = \frac{2 - (-1)}{3} = 1$。
  2. 查Φ值：
    $\Phi(1) = 0.8413, \quad \Phi(0.5) = 0.6915$
  3. 计算区间概率：
    $P\{0.5 < X < 2\} = \Phi(1) - \Phi(0.5) = 0.8413 - 0.6915 = 0.1498$