题目
8.设总体 sim B(m,p) ,0
题目解答
答案
解析
步骤 1：求矩估计量
- 由于 $X\sim B(m,p)$，则 $E(X)=mp$。
- 令 $mp=\overline {X}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值。
- 解得矩估计量为 $\hat {p}=\dfrac {\overline {x}}{m}$。
步骤 2：求极大似然估计量
- 似然函数为 $L(p)=\prod _{i=1}^{n}C_{m}^{x_{i}}p^{x_{i}}(1-p)^{m-x_{i}}$。
- 对似然函数取对数，得到 $\ln L(p)=\sum _{i=1}^{n}\ln C_{m}^{x_{i}}+p\sum _{i=1}^{n}x_{i}+(m-\sum _{i=1}^{n}x_{i})\ln (1-p)$。
- 对 $\ln L(p)$ 求导，得到 $\dfrac {d\ln L(p)}{dp}=\dfrac {1}{p}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\dfrac {1}{1-p}(mn-\sum _{i=1}^{n}x_{i})$。
- 令导数等于0，解得 $\hat {p}=\dfrac {\overline {x}}{m}$。
- 由于 $X\sim B(m,p)$，则 $E(X)=mp$。
- 令 $mp=\overline {X}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值。
- 解得矩估计量为 $\hat {p}=\dfrac {\overline {x}}{m}$。
步骤 2：求极大似然估计量
- 似然函数为 $L(p)=\prod _{i=1}^{n}C_{m}^{x_{i}}p^{x_{i}}(1-p)^{m-x_{i}}$。
- 对似然函数取对数，得到 $\ln L(p)=\sum _{i=1}^{n}\ln C_{m}^{x_{i}}+p\sum _{i=1}^{n}x_{i}+(m-\sum _{i=1}^{n}x_{i})\ln (1-p)$。
- 对 $\ln L(p)$ 求导，得到 $\dfrac {d\ln L(p)}{dp}=\dfrac {1}{p}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\dfrac {1}{1-p}(mn-\sum _{i=1}^{n}x_{i})$。
- 令导数等于0，解得 $\hat {p}=\dfrac {\overline {x}}{m}$。