题目
1.设总体X服从指数分布，其概率密度函数为f(x)=}lambda e^-lambda x,x>00,xleqslant 0为X的一组样本，求参数lambda的矩估计量和极大似然估计量.
1.设总体X服从指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\0,x\leqslant 0\end{cases}$其中$\lambda>0$为未知参数，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为X的一组样本，求参数$\lambda$的矩估计量和极大似然估计量.
题目解答
答案
**矩估计量：**
总体均值 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，令样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$，解得
$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}.
$$
**极大似然估计量：**
似然函数 $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i}$，取对数得
$$
\ell(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n X_i.
$$
求导并令导数为零，解得
$$
\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\overline{X}}.
$$
**答案：**
$$
\boxed{\frac{1}{\overline{X}}}
$$
解析
步骤 1：矩估计量
总体均值 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，令样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$，解得矩估计量为 $$ \hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}. $$
步骤 2：极大似然估计量
似然函数 $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i}$，取对数得 $$ \ell(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n X_i. $$ 求导并令导数为零，解得极大似然估计量为 $$ \hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\overline{X}}. $$
总体均值 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，令样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$，解得矩估计量为 $$ \hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}. $$
步骤 2：极大似然估计量
似然函数 $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i}$，取对数得 $$ \ell(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n X_i. $$ 求导并令导数为零，解得极大似然估计量为 $$ \hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\overline{X}}. $$