题目
6.设总体 sim b(1,p), X1,X2,···,Xn是来自X的样本.-|||-(1)求(X1,X2,···,Xn )的分布律.-|||-(2)求 sum _(i=1)^n(X)_(1) 的分布律.-|||-(3)求E(X),D(X),E(S^2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求(X1,X2,···,Xn)的分布律
由于X1,X2,···,Xn是来自X的样本，且X~b(1,p)，即X服从参数为1和p的二项分布。因此，每个Xi也服从参数为1和p的二项分布，即${X}_{i}\sim b(1,p)$。由于X1,X2,···,Xn相互独立，所以(X1,X2,···,Xn)的联合分布律为各Xi分布律的乘积。
步骤 2：求 $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布律
由于X1,X2,···,Xn相互独立，且每个Xi都服从参数为1和p的二项分布，所以$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$服从参数为n和p的二项分布，即$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim b(n,p)$。
步骤 3：求E(X),D(X),E(S^2)
由于X~b(1,p)，所以E(X)=p，D(X)=p(1-p)。由于$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，所以$E(\overline {X})=E(X)=p$，$D(\overline {X})=\dfrac {1}{n^2}D(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {1}{n^2}np(1-p)=\dfrac {p(1-p)}{n}$。由于$S^2=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_i-\overline {X})^2$，所以$E(S^2)=D(X)=p(1-p)$。
由于X1,X2,···,Xn是来自X的样本，且X~b(1,p)，即X服从参数为1和p的二项分布。因此，每个Xi也服从参数为1和p的二项分布，即${X}_{i}\sim b(1,p)$。由于X1,X2,···,Xn相互独立，所以(X1,X2,···,Xn)的联合分布律为各Xi分布律的乘积。
步骤 2：求 $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布律
由于X1,X2,···,Xn相互独立，且每个Xi都服从参数为1和p的二项分布，所以$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$服从参数为n和p的二项分布，即$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\sim b(n,p)$。
步骤 3：求E(X),D(X),E(S^2)
由于X~b(1,p)，所以E(X)=p，D(X)=p(1-p)。由于$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，所以$E(\overline {X})=E(X)=p$，$D(\overline {X})=\dfrac {1}{n^2}D(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {1}{n^2}np(1-p)=\dfrac {p(1-p)}{n}$。由于$S^2=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_i-\overline {X})^2$，所以$E(S^2)=D(X)=p(1-p)$。