题目

某冶金工作者对锰的溶化点作了 4 次试验，结果为摄氏1264°,1266°,1259°,1255°，以显著性水平1264°,1266°,1259°,1255°，在常态的假设下，这些结果是否符合于公布的数字锰的溶化点为 1264°,1266°,1259°,1255°。（注：1264°,1266°,1259°,1255°）

某冶金工作者对锰的溶化点作了 4 次试验，结果为摄氏 $1264 ^ \circ , 1266 ^ \circ , 1259 ^ \circ , 1255 ^ \circ$ ，以显著性水平 $\alpha=0.05$ ，在常态的假设下，这些结果是否符合于公布的数字锰的溶化点为 $1260 ^ \circ$ 。

（注： $t_{0.025}(3)=3.18$ ）

题目解答

答案

解：首先假设检验： $H_0：\mu=1260；H_1:\mu\ne1260$

其次选取检验统计量： $t=\frac{\bar{X}-1260}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$ ，当 $H_0$ 为真时， $t\sim t(n-1)$ ;对于给定的 $\alpha=0.05，n=4$ ，可确定临界值 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.025}(3)=3.18$ ,故拒绝域为 $\left|t\right|\ge3.18$

由样本观察值可计算得 $\bar{X}=\frac{1}{4}（1264+1266+1259+1255）=1261$

$S=\sqrt{\frac{1}{3}\sum^{4}_{i=1}(X_i-\bar{X})^2}=4.9666$

∴ $\left|t\right|=\frac{1261-1260}{\frac{4.9666}{2}}=0.4027<3.18$

故不拒绝原假设，认为这些结果符合于公布的数字锰的溶化点为 $1260 ^ \circ$ 。

解析

步骤 1：假设检验
首先，我们假设检验的原假设${H}_{0}:\mu =1260$，即锰的溶化点为1260°。备择假设${H}_{1}:\mu \neq 1260$，即锰的溶化点不等于1260°。

步骤 2：选取检验统计量
选取检验统计量为$t=\dfrac {X-1260}{\dfrac {S}{\sqrt {n}}}$，其中$X$为样本均值，$S$为样本标准差，$n$为样本量。当原假设${H}_{0}$为真时，$t$服从自由度为$n-1$的$t$分布。

步骤 3：确定临界值
对于给定的显著性水平$\alpha =0.10$，自由度为$n-1=3$，查$t$分布表得到临界值${t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)={t}_{0.05}(3)=2.353$。因此，拒绝域为$|t|\geqslant 2.353$。

步骤 4：计算样本均值和样本标准差
由样本观察值可计算得$\overline {X}=\dfrac {1}{4}(1264+1266+1259+1255)=1261$。
$S=\sqrt {\dfrac {1}{3}\sum _{i=1}^{4}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}}=\sqrt {\dfrac {1}{3}[(1264-1261)^{2}+(1266-1261)^{2}+(1259-1261)^{2}+(1255-1261)^{2}]}=\sqrt {\dfrac {1}{3}(9+25+4+36)}=\sqrt {\dfrac {1}{3}\times 74}=\sqrt {24.67}\approx 4.97$。

步骤 5：计算检验统计量
计算检验统计量$t=\dfrac {1261-1260}{\dfrac {4.97}{2}}=\dfrac {1}{2.485}\approx 0.402$。

步骤 6：判断是否拒绝原假设
由于$|t|=0.402\lt 2.353$，故不拒绝原假设，认为这些结果符合于公布的数字锰的溶化点为1260°。