阅读材料:多项式除以多项式,可用竖式进行-|||-演算,步骤如下:-|||-①把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并-|||-把所缺的项用零补齐(或留出空白);-|||-②用被除式的第一项去除以除式第一项,得-|||-到商式的第一项,写在被除式的同次幂上方;-|||-③用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式-|||-下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积;-|||-④把减得的差当作新的被除式,再按照上面-|||-的方法继续演算,直到余式为零或余式的次-|||-数低于除式的次数时为止,被除式=除式×-|||-商式+余式,若余式为零,说明这个多项式能-|||-被另一个多项式整除.-|||-例如:计算 (x)^5+3(x)^3+5(x)^2-2x+10 除以-|||-^2+1 的商式和余式,可以用竖式演算如图.-|||-x^2+1 2x^5+3x^3+5x^2-2x+10-|||-2x^5+2x^3 x^3+5x^2-2 x+10-|||-x^3 +x-|||-5x^2-3x+10-|||-5x^2 +5-|||--3x+5阅读材料:多项式除以多项式,可用竖式进行-|||-演算,步骤如下:-|||-①把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并-|||-把所缺的项用零补齐(或留出空白);-|||-②用被除式的第一项去除以除式第一项,得-|||-到商式的第一项,写在被除式的同次幂上方;-|||-③用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式-|||-下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积;-|||-④把减得的差当作新的被除式,再按照上面-|||-的方法继续演算,直到余式为零或余式的次-|||-数低于除式的次数时为止,被除式=除式×-|||-商式+余式,若余式为零,说明这个多项式能-|||-被另一个多项式整除.-|||-例如:计算 (x)^5+3(x)^3+5(x)^2-2x+10 除以-|||-^2+1 的商式和余式,可以用竖式演算如图.-|||-x^2+1 2x^5+3x^3+5x^2-2x+10-|||-2x^5+2x^3 x^3+5x^2-2 x+10-|||-x^3 +x-|||-5x^2-3x+10-|||-5x^2 +5-|||--3x+5
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查多项式除法的运算规则及余式定理的应用，涉及多项式整除的条件。
解题思路：
- 第（1）题：直接按照多项式长除法的步骤逐项计算，注意对齐同类项并逐步消去高次项，最终得到商式和余式。
- 第（2）题：利用多项式整除的条件（余式为零），通过长除法或因式定理建立方程。关键点是将除式分解为一次因式，代入根使原多项式值为零，从而解出参数。
第（1）题
步骤1：排列多项式
被除式：$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$，除式：$x + 2$（已按$x$降幂排列）。
步骤2：首项相除
用被除式的首项$2x^3$除以除式的首项$x$，得商的第一项$2x^2$。
步骤3：乘除式并相减
$2x^2 \cdot (x + 2) = 2x^3 + 4x^2$，被除式减去该结果：
$(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) - (2x^3 + 4x^2) = -7x^2 + 4x - 5$
步骤4：重复上述过程
用$-7x^2$除以$x$得$-7x$，乘除式得$-7x^2 - 14x$，相减：
$(-7x^2 + 4x - 5) - (-7x^2 - 14x) = 18x - 5$
步骤5：继续计算
用$18x$除以$x$得$18$，乘除式得$18x + 36$，相减：
$(18x - 5) - (18x + 36) = -41$
余式次数低于除式次数，结束。
答案：商式为$2x^2 - 7x + 18$，余式为$-41$。
第（2）题
方法1：多项式除法
将被除式$2x^4 - 4x^3 + ax^2 + 7x + b$除以$x^2 + x - 2$，余式必须为零。通过长除法步骤可得余式：
$[-5 - (a + 10)]x + b + 2(a + 10)$
令余式系数为零：
$\begin{cases}-5 - (a + 10) = 0 \\b + 2(a + 10) = 0\end{cases}$
解得$a = -15$，$b = 10$。
方法2：因式定理
将除式分解为$(x + 2)(x - 1)$，则原多项式在$x = -2$和$x = 1$时值为零：
- 代入$x = -2$：
$2(-2)^4 - 4(-2)^3 + a(-2)^2 + 7(-2) + b = 0 \implies 50 + 4a + b = 0$ - 代入$x = 1$：
$2(1)^4 - 4(1)^3 + a(1)^2 + 7(1) + b = 0 \implies 5 + a + b = 0$
联立方程解得$a = -15$，$b = 10$。