题目
3.设某种电灯泡的寿命X服从指数分布E(λ)，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本X_(1),X_(2),...,X_(100)的联合概率密度函数.
3.设某种电灯泡的寿命X服从指数分布E(λ)，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{100}$的联合概率密度函数.
题目解答
答案
指数分布 $E(\lambda)$ 的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x > 0$）。对于简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$，联合概率密度函数为各个体密度函数的乘积：
\[
f(x_1, x_2, \cdots, x_{100}) = \prod_{i=1}^{100} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^{100} e^{-\lambda \sum_{i=1}^{100} x_i}.
\]
该表达式在 $x_1, x_2, \cdots, x_{100} > 0$ 时成立。
**答案：**
\[
\boxed{\lambda^{100} e^{-\lambda \sum_{i=1}^{100} x_i}, \quad x_1, x_2, \cdots, x_{100} > 0.}
\]
解析
步骤 1：确定单个灯泡寿命的概率密度函数
指数分布 $E(\lambda)$ 的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x > 0$）。
步骤 2：计算简单随机样本的联合概率密度函数
对于简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$，联合概率密度函数为各个体密度函数的乘积：
\[ f(x_1, x_2, \cdots, x_{100}) = \prod_{i=1}^{100} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^{100} e^{-\lambda \sum_{i=1}^{100} x_i}. \]
步骤 3：确定联合概率密度函数的定义域
该表达式在 $x_1, x_2, \cdots, x_{100} > 0$ 时成立。
指数分布 $E(\lambda)$ 的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x > 0$）。
步骤 2：计算简单随机样本的联合概率密度函数
对于简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$，联合概率密度函数为各个体密度函数的乘积：
\[ f(x_1, x_2, \cdots, x_{100}) = \prod_{i=1}^{100} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^{100} e^{-\lambda \sum_{i=1}^{100} x_i}. \]
步骤 3：确定联合概率密度函数的定义域
该表达式在 $x_1, x_2, \cdots, x_{100} > 0$ 时成立。