题目

设随机变量 X 服从 N(-1,16)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1) P(X<2.44)；(2) P(X>-1.5)；(3) P(X<-2.8)；(4) P(|X|<4)；(5) P(-5<2)；(6) P(|X-1|>1)；(7) 确定 a，使得 P(Xleqslant a)=P(X>a).

设随机变量 $X$ 服从 $N(-1,16)$，借助于标准正态分布的分布函数表计算：

(1) $P(X<2.44)$；(2) $P(X>-1.5)$；(3) $P(X<-2.8)$；(4) $P(|X|<4)$；(5) $P(-5<2)$；

(6) $P(|X-1|>1)$；(7) 确定 $a$，使得 $P(X\leqslant a)=P(X>a)$.

题目解答

答案

(1) $ P(X < 2.44) = P\left(Z < \frac{2.44 + 1}{4}\right) = P(Z < 0.86) \approx 0.8051 $ (2) $ P(X > -1.5) = P\left(Z > \frac{-1.5 + 1}{4}\right) = P(Z > -0.125) \approx 0.5498 $ (3) $ P(X < -2.8) = P\left(Z < \frac{-2.8 + 1}{4}\right) = P(Z < -0.45) \approx 0.3264 $ (4) $ P(|X| < 4) = P(-4 < X < 4) = P(-0.75 < Z < 1.25) \approx 0.6678 $ (5) $ P(-5 < X < 2) = P(-1 < Z < 0.75) \approx 0.6147 $ (6) $ P(|X - 1| > 1) = P(X > 2) + P(X < 0) \approx 0.2266 + 0.5987 = 0.8253 $ (7) $ a = \mu = -1 $ \[ \boxed{ \begin{array}{ccccccc} (1) & 0.8051 \\ (2) & 0.5498 \\ (3) & 0.3264 \\ (4) & 0.6678 \\ (5) & 0.6147 \\ (6) & 0.8253 \\ (7) & -1 \\ \end{array} } \]

解析

本题主要考查正态分布的性质以及如何将一般正态分布转化为标准正态分布来计算概率，同时涉及到绝对值不等式的处理和概率等式的求解。解题的关键在于利用正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$X$服从$N(\mu,\sigma^{2})$，$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$，再结合标准正态分布的分布函数表进行计算。

(1) 计算$P(X < 2.44)$

已知随机变量$X$服从$N(-1,16)$，则$\mu = -1$，$\sigma = \sqrt{16} = 4$。
根据标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，可得：
$P(X < 2.44)=P\left(Z < \frac{2.44 - (-1)}{4}\right)=P\left(Z < \frac{3.44}{4}\right)=P(Z < 0.86)$
查标准正态分布的分布函数表，可得$P(Z < 0.86)\approx 0.8051$。

(2) 计算$P(X > -1.5)$

同样根据标准化公式：
$P(X > -1.5)=P\left(Z > \frac{-1.5 - (-1)}{4}\right)=P\left(Z > \frac{-0.5}{4}\right)=P(Z > -0.125)$
由于$P(Z > -0.125)=1 - P(Z\leqslant -0.125)$，查标准正态分布的分布函数表得$P(Z\leqslant -0.125)\approx 0.4502$，所以$P(Z > -0.125)=1 - 0.4502 = 0.5498$。

(3) 计算$P(X < -2.8)$

利用标准化公式：
$P(X < -2.8)=P\left(Z < \frac{-2.8 - (-1)}{4}\right)=P\left(Z < \frac{-1.8}{4}\right)=P(Z < -0.45)$
查标准正态分布的分布函数表，可得$P(Z < -0.45)\approx 0.3264$。

(4) 计算$P(|X| < 4)$

先将绝对值不等式展开：$P(|X| < 4)=P(-4 < X < 4)$
再分别对$-4$和$4$进行标准化：
$P(-4 < X < 4)=P\left(\frac{-4 - (-1)}{4} < Z < \frac{4 - (-1)}{4}\right)=P(-0.75 < Z < 1.25)$
根据概率的性质$P(-0.75 < Z < 1.25)=P(Z < 1.25) - P(Z\leqslant -0.75)$
查标准正态分布的分布函数表得$P(Z < 1.25)\approx 0.8944$，$P(Z\leqslant -0.75)\approx 0.2266$，所以$P(-0.75 < Z < 1.25)=0.8944 - 0.2266 = 0.6678$。

(5) 计算$P(-5 < X < 2)$

对$-5$和$2$进行标准化：
$P(-5 < X < 2)=P\left(\frac{-5 - (-1)}{4} < Z < \frac{2 - (-1)}{4}\right)=P(-1 < Z < 0.75)$
根据概率的性质$P(-1 < Z < 0.75)=P(Z < 0.75) - P(Z\leqslant -1)$
查标准正态分布的分布函数表得$P(Z < 0.75)\approx 0.7734$，$P(Z\leqslant -1)\approx 0.1587$，所以$P(-1 < Z < 0.75)=0.7734 - 0.1587 = 0.6147$。

(6) 计算$P(|X - 1| > 1)$

先将绝对值不等式展开：$P(|X - 1| > 1)=P(X - 1 > 1)+P(X - 1 < -1)=P(X > 2)+P(X < 0)$
分别对$2$和$0$进行标准化：
$P(X > 2)=P\left(Z > \frac{2 - (-1)}{4}\right)=P\left(Z > \frac{3}{4}\right)=P(Z > 0.75)=1 - P(Z\leqslant 0.75)$
查标准正态分布的分布函数表得$P(Z\leqslant 0.75)\approx 0.7734$，所以$P(Z > 0.75)=1 - 0.7734 = 0.2266$。
$P(X < 0)=P\left(Z < \frac{0 - (-1)}{4}\right)=P\left(Z < \frac{1}{4}\right)=P(Z < 0.25)$
查标准正态分布的分布函数表得$P(Z < 0.25)\approx 0.5987$。
所以$P(|X - 1| > 1)=0.2266 + 0.5987 = 0.8253$。

(7) 确定$a$，使得$P(X\leqslant a)=P(X > a)$

因为$P(X\leqslant a)+P(X > a)=1$，又$P(X\leqslant a)=P(X > a)$，所以$2P(X\leqslant a)=1$，即$P(X\leqslant a)=\frac{1}{2}$。
对$a$进行标准化：$P(X\leqslant a)=P\left(Z\leqslant \frac{a - (-1)}{4}\right)=P\left(Z\leqslant \frac{a + 1}{4}\right)=\frac{1}{2}$
查标准正态分布的分布函数表可知，当$Z = 0$时，$P(Z\leqslant 0)=\frac{1}{2}$，所以$\frac{a + 1}{4}=0$，解得$a = -1$。