31.【单选题】(2分) 设Phi(x)为标准正态分布函数，X_(i)=}1,事件A发生0,否则,则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）A. Phi(y)B. Phi((y-70)/(21))C. Phi((y-70)/(sqrt(21)))D. Phi(y-70)

本题考查中心极限定理的应用。解题思路是先判断随机变量$X_i$的分布，再计算其期望和方差，接着根据独立同分布的性质求出$Y = \sum_{i=1}^{100} X_i$的期望和方差，最后利用中心极限定理得到$Y$的近似分布，进而得出$Y$的分布函数的近似表达式。

1. 判断$X_i$的分布并计算其期望和方差：
   • 已知$X_{i}=\begin{cases}1,事件A发生\\0,否则\end{cases}$，且$P(A)=0.7$，所以$X_i$服从参数为$p = 0.7$的伯努利分布。
   • 根据期望的定义，$E(X_i)=1\times P(X_i = 1)+0\times P(X_i = 0)=1\times0.7 + 0\times0.3 = 0.7$。
   • 计算$E(X_i^2)=1^2\times P(X_i = 1)+0^2\times P(X_i = 0)=1^2\times0.7 + 0^2\times0.3 = 0.7$。
   • 根据方差的计算公式$\text{Var}(X_i)=E(X_i^2)-(E(X_i))^2$，可得$\text{Var}(X_i)=0.7 - 0.7^2 = 0.7 - 0.49 = 0.21$。
2. 计算$Y$的期望和方差：
   • 因为$Y=\sum_{i=1}^{100}X_{i}$，且$X_1,X_2,\cdots,X_{100}$相互独立，根据期望的性质$E(Y)=\sum_{i=1}^{100}E(X_i)$，可得$E(Y)=100\times0.7 = 70$。
   • 根据方差的性质$\text{Var}(Y)=\sum_{i=1}^{100}\text{Var}(X_i)$，可得$\text{Var}(Y)=100\times0.21 = 21$。
3. 利用中心极限定理得到$Y$的近似分布：
   • 由中心极限定理可知，当$n$（本题中$n = 100$）充分大时，$Y$近似服从正态分布$N(E(Y),\text{Var}(Y))$，即$Y\sim N(70,21)$。
   • 对$Y$进行标准化，令$Z=\frac{Y - E(Y)}{\sqrt{\text{Var}(Y)}}=\frac{Y - 70}{\sqrt{21}}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
4. 得出$Y$的分布函数的近似表达式：
   • $Y$的分布函数$F(y)=P(Y\leq y)$，将$Y$标准化后可得$F(y)=P\left(\frac{Y - 70}{\sqrt{21}}\leq\frac{y - 70}{\sqrt{21}}\right)$。
   • 因为$Z=\frac{Y - 70}{\sqrt{21}}\sim N(0,1)$，设$\Phi(x)$为标准正态分布函数，则$F(y)\approx\Phi\left(\frac{y - 70}{\sqrt{21}}\right)$。