题目
设总体X~N(72,^2)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量n至少应该是多少？
设总体X~N(72,
)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量n至少应该是多少？
题目解答
答案
解：
设
70\right\}=P\left\{Y-72>-2\right\}=P\left\{\frac{Y-72}{\frac{10}{\sqrt{n}}}>-\frac{\sqrt{n}}{5}\right\}" data-width="505" data-height="79" data-size="8461" data-format="png" style="max-width:100%">
0.9=\varnothing\left(1.29\right)" data-width="417" data-height="56" data-size="7248" data-format="png" style="max-width:100%">
1.29" data-width="98" data-height="50" data-size="1856" data-format="png" style="max-width:100%">
41.6025" data-width="105" data-height="19" data-size="1688" data-format="png" style="max-width:100%">
n=42
故样本容量n至少应该是42.
解析
步骤 1：定义样本均值
设$Y=\dfrac {\sum {X}_{i}}{n}$，其中$X_i$是来自总体X的样本，n是样本容量。
步骤 2：计算概率
$P(Y\gt 70)=P\{ Y-72\gt -2\} =P\{ \dfrac {Y-72}{\dfrac {10}{\sqrt{n}}}\gt -\dfrac {\sqrt{n}}{5}\}$
步骤 3：利用标准正态分布
$=1-\Phi (-\dfrac {\sqrt{n}}{5})=\Phi (\dfrac {\sqrt{n}}{5})\gt 0.9=\Phi(1.29)$
步骤 4：求解不等式
$\dfrac {\sqrt{n}}{5}\gt 1.29$
步骤 5：计算n的最小值
$n\gt 41.6025$
设$Y=\dfrac {\sum {X}_{i}}{n}$，其中$X_i$是来自总体X的样本，n是样本容量。
步骤 2：计算概率
$P(Y\gt 70)=P\{ Y-72\gt -2\} =P\{ \dfrac {Y-72}{\dfrac {10}{\sqrt{n}}}\gt -\dfrac {\sqrt{n}}{5}\}$
步骤 3：利用标准正态分布
$=1-\Phi (-\dfrac {\sqrt{n}}{5})=\Phi (\dfrac {\sqrt{n}}{5})\gt 0.9=\Phi(1.29)$
步骤 4：求解不等式
$\dfrac {\sqrt{n}}{5}\gt 1.29$
步骤 5：计算n的最小值
$n\gt 41.6025$