题目
6.设(X1,X2,···,Xn)为总体N(1,2^2)的一个样本, x 为样本均值,则下列结论中正确-|||-的是 () 。-|||-A. dfrac (overline {X)-1}(2/sqrt {n)}sim t(n) ; B. dfrac (1)(4)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-1)}^2sim F(n,1) :-|||-C. dfrac (overrightarrow {x)-1}(sqrt {2)/sqrt (n)}sim N(0,1) ; D. dfrac (1)(4)sum _(i=1)^n(({x)_(i)-1)}^2sim (chi )^2(n) 三
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(1, 2^2/n)$，其中 $1$ 是总体均值，$2^2/n$ 是样本均值的方差。
步骤 2：标准化样本均值
标准化后的样本均值 $\dfrac{\overline{X} - 1}{\sqrt{2^2/n}}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 3：分析选项
A. $\dfrac{\overline{X} - 1}{2/\sqrt{n}} \sim t(n)$：不正确，因为样本均值标准化后服从标准正态分布，而不是 t 分布。
B. $\dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}(X_i - 1)^2 \sim F(n, 1)$：不正确，因为 $\sum_{i=1}^{n}(X_i - 1)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，而不是 F 分布。
C. $\dfrac{\overrightarrow{x} - 1}{\sqrt{2}/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$：不正确，因为 $\overrightarrow{x}$ 应该是 $\overline{X}$，且标准化后的样本均值服从标准正态分布。
D. $\dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}(x_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$：正确，因为 $\sum_{i=1}^{n}(x_i - 1)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，且除以 $4$ 不影响分布类型。
样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(1, 2^2/n)$，其中 $1$ 是总体均值，$2^2/n$ 是样本均值的方差。
步骤 2：标准化样本均值
标准化后的样本均值 $\dfrac{\overline{X} - 1}{\sqrt{2^2/n}}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 3：分析选项
A. $\dfrac{\overline{X} - 1}{2/\sqrt{n}} \sim t(n)$：不正确，因为样本均值标准化后服从标准正态分布，而不是 t 分布。
B. $\dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}(X_i - 1)^2 \sim F(n, 1)$：不正确，因为 $\sum_{i=1}^{n}(X_i - 1)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，而不是 F 分布。
C. $\dfrac{\overrightarrow{x} - 1}{\sqrt{2}/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$：不正确，因为 $\overrightarrow{x}$ 应该是 $\overline{X}$，且标准化后的样本均值服从标准正态分布。
D. $\dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}(x_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$：正确，因为 $\sum_{i=1}^{n}(x_i - 1)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，且除以 $4$ 不影响分布类型。