题目

22 （1）设随机变量X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)相互独立，且有E(X_(i))=i,D(X_(i))=5-i,i=1,2,3,4.设Y=2X_(1)-X_(2)+3X_(3)-(1)/(2)X_(4).求E(Y),D(Y).（2）设随机变量X,Y相互独立，且Xsim N(720,30^2),Ysim N(640,25^2),求Z_(1)=2X+Y,Z_(2)=X-Y的分布，并求概率PX>Y,PX+Y>1400.

22 （1）设随机变量$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$相互独立，且有$E(X_{i})=i,D(X_{i})=5-i,i=1,2,3,4.$ 设$Y=2X_{1}-X_{2}+3X_{3}-\frac{1}{2}X_{4}.$求$E(Y),D(Y).$ （2）设随机变量X,Y相互独立，且$X\sim N(720,30^{2}),Y\sim N(640,25^{2}),$求$Z_{1}=2X+Y,$ $Z_{2}=X-Y$的分布，并求概率$P\{X>Y\},P\{X+Y>1400\}.$

题目解答

答案

(1) **计算 $E(Y)$ 和 $D(Y)$：** $E(Y) = 2 \times 1 - 2 + 3 \times 3 - \frac{1}{2} \times 4 = 7$。 $D(Y) = 4 \times 4 + 3 + 9 \times 2 + \frac{1}{4} \times 1 = 37.25$。 (2) **求 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的分布：** $Z_1 = 2X + Y \sim N(2080, 4225)$，$Z_2 = X - Y \sim N(80, 1525)$。 (3) **计算概率：** $P\{X > Y\} = P\{Z_2 > 0\} \approx 0.9798$， $P\{X + Y > 1400\} \approx 0.1539$。 \[ \boxed{ \begin{array}{ll} (1) & E(Y) = 7, \quad D(Y) = 37.25 \\ (2) & Z_1 \sim N(2080, 4225), \quad Z_2 \sim N(80, 1525) \\ & P\{X > Y\} \approx 0.9798, \quad P\{X + Y > 1400\} \approx 0.1539 \\ \end{array} } \]

解析

（1）期望与方差的性质应用
本题考查期望的线性性和方差的可加性。由于随机变量相互独立，计算线性组合的方差时，协方差项为零，只需计算各变量方差的加权和。

（2）正态分布的线性组合与概率计算
本题需利用正态分布的封闭性，线性组合后的变量仍服从正态分布。计算概率时需标准化，转化为标准正态分布查表。

第（1）题

计算期望 $E(Y)$

根据期望的线性性：
$E(Y) = 2E(X_1) - E(X_2) + 3E(X_3) - \frac{1}{2}E(X_4)$
代入 $E(X_i) = i$：
$E(Y) = 2 \times 1 - 2 + 3 \times 3 - \frac{1}{2} \times 4 = 7$

计算方差 $D(Y)$

由于变量独立，方差可加：
$D(Y) = (2^2)D(X_1) + (-1)^2D(X_2) + (3^2)D(X_3) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2D(X_4)$
代入 $D(X_i) = 5 - i$：
$D(Y) = 4 \times 4 + 1 \times 3 + 9 \times 2 + \frac{1}{4} \times 1 = 37.25$

第（2）题

求 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的分布

  • $Z_1 = 2X + Y$
    期望：$E(Z_1) = 2 \times 720 + 640 = 2080$
    方差：$D(Z_1) = (2^2) \times 30^2 + 25^2 = 4225$
    分布：$Z_1 \sim N(2080, 4225)$

  • $Z_2 = X - Y$
    期望：$E(Z_2) = 720 - 640 = 80$
    方差：$D(Z_2) = 30^2 + 25^2 = 1525$
    分布：$Z_2 \sim N(80, 1525)$

计算概率

  • $P\{X > Y\}$
    转化为 $P\{Z_2 > 0\}$，标准化后：
    $P\left\{Z_2 > 0\right\} = 1 - \Phi\left(\frac{0 - 80}{\sqrt{1525}}\right) \approx 1 - \Phi(-2.05) \approx 0.9798$

  • $P\{X + Y > 1400\}$
    $X + Y \sim N(1360, 1525)$，标准化后：
    $P\left\{X + Y > 1400\right\} = 1 - \Phi\left(\frac{1400 - 1360}{\sqrt{1525}}\right) \approx 1 - \Phi(1.02) \approx 0.1539$