题目

检测题（这个题还有第一问的提示，比前面三道更简单）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0,int_(a)^bf(x)dx=01）证明：存在互不相同的点x_(1),x_(2)in(a,b),使得f'(xi_(i))=f(xi_(i)），i=1,22）证明：存在xiin(a,b),xineqxi_(i),i=1,2,使得f''(xi)=f(xi)（第十二届决赛）

检测题（这个题还有第一问的提示，比前面三道更简单） 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0,$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$ 1）证明：存在互不相同的点$x_{1},x_{2}\in(a,b),$使得$f'(\xi_{i})=f(\xi_{i}），i=1,2$ 2）证明：存在$\xi\in(a,b),\xi\neq\xi_{i},i=1,2,$使得$f''(\xi)=f(\xi)$（第十二届决赛）

题目解答

答案

问题1：
由积分中值定理，存在 $\eta \in (a, b)$ 使 $f(\eta) = 0$。
应用罗尔定理于 $g(x) = e^{-x}f(x)$，得 $x_1 \in (a, \eta)$ 和 $x_2 \in (\eta, b)$，满足 $f'(x_i) = f(x_i)$（$i=1,2$）。

问题2：
考虑 $F(x) = e^{-x}f'(x) - e^{-x}f(x)$，由问题1知 $F(x_1) = F(x_2) = 0$。
应用罗尔定理于 $F(x)$，得 $\xi \in (x_1, x_2)$（或 $(x_2, x_1)$），满足 $F'(\xi) = 0$，即 $f''(\xi) = f(\xi)$。

结论：

  1. 存在互不相同的点 $x_1, x_2 \in (a, b)$，满足 $f'(x_i) = f(x_i)$（$i=1,2$）。
  2. 存在 $\xi \in (a, b)$，且 $\xi \neq x_i$（$i=1,2$），满足 $f''(\xi) = f(\xi)$。

$\boxed{\begin{array}{ll}\text{问题1：} & \text{存在 } x_1, x_2 \in (a, b), x_1 \neq x_2, \text{ 使 } f'(x_i) = f(x_i) \\\text{问题2：} & \text{存在 } \xi \in (a, b), \xi \neq x_i, \text{ 使 } f''(\xi) = f(\xi)\end{array}}$

解析

本题主要考查积分中值定理、罗尔定理的应用，解题的关键在于通过构造合适的辅助函数，利用这些定理来证明所需结论。

问题1

  1. 利用积分中值定理：
    已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_{a}^{b}f(x)dx = 0$。根据积分中值定理，若函数$y = f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$(a,b)$内至少存在一点$\eta$，使得$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\eta)(b - a)$。
    因为$\int_{a}^{b}f(x)dx = 0$且$b - a\neq0$，所以$f(\eta)=0$，其中$\eta\in(a,b)$。
  2. 构造辅助函数并应用罗尔定理：
    构造函数$g(x)=e^{-x}f(x)$。
    • 因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，$e^{-x}$在$R$上连续且可导，所以$g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。
    • 计算$g(a)=e^{-a}f(a)=0$（已知$f(a)=0$），$g(\eta)=e^{-\eta}f(\eta)=0$，$g(b)=e^{-b}f(b)=0$（已知$f(b)=0$）。
    • 在区间$[a,\eta]$上，$g(x)$满足罗尔定理的条件，所以存在$x_1\in(a,\eta)$，使得$g'(x_1)=0$。
      对$g(x)=e^{-x}f(x)$求导，根据乘积求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = e^{-x}$，$v = f(x)$，可得$g^\prime(x)=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f^\prime(x)=e^{-x}(f^\prime(x)-f(x))$。
      因为$g^\prime(x_1)=0$且$e^{-x_1}\neq0$，所以$f^\prime(x_1)-f(x_1)=0$，即$f^\prime(x_1)=f(x_1)$。
    • 在区间$[\eta,b]$上，$g(x)$同样满足罗尔定理的条件，所以存在$x_2\in(\eta,b)$，使得$g^\prime(x_2)=0$。
      同理可得$f^\prime(x_2)-f(x_2)=0$，即$f^\prime(x_2)=f(x_2)$。
      又因为$x_1\in(a,\eta)$，$x_2\in(\eta,b)$，所以$x_1\neq x_2$。

问题2

  1. 构造辅助函数：
    考虑函数$F(x)=e^{-x}f^\prime(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}(f^\prime(x)-f(x))$。
  2. 分析$F(x)$在特殊点的值：
    由问题1可知$f^\prime(x_1)=f(x_1)$，$f^\prime(x_2)=f(x_2)$，所以$F(x_1)=e^{-x_1}(f^\prime(x_1)-f(x_1)) = 0$，$F(x_2)=e^{-x_2}(f^\prime(x_2)-f(x_2)) = 0$。
  3. 应用罗尔定理：
    因为$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，所以$f^\prime(x)$在$(a,b)$内可导，进而$F(x)$在$[x_1,x_2]$（或$[x_2,x_1]$）上连续，在$(x_1,x_2)$（或$(x_2,x_1)$）内可导。
    且$F(x_1)=F(x_2)=0$，满足罗尔定理的条件，所以存在$\xi\in(x_1,x_2)$（或$(x_2,x_1)$），使得$F^\prime(\xi)=0$。
    对$F(x)=e^{-x}(f^\prime(x)-f(x))$求导，根据乘积求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = e^{-x}$，$v = f^\prime(x)-f(x)$，可得：
    $F^\prime(x)=-e^{-x}(f^\prime(x)-f(x))+e^{-x}(f^{\prime\prime}(x)-f^\prime(x))=e^{-x}(f^{\prime\prime}(x)-2f^\prime(x)+f(x))$。
    因为$F^\prime(\xi)=0$且$e^{-\xi}\neq0$，所以$f^{\prime\prime}(\xi)-2f^\prime(\xi)+f(\xi)=0$。
    又因为$f^\prime(\xi)=f(\xi)$（由$F^\prime(\xi)=0$化简可得），代入上式可得$f^{\prime\prime}(\xi)=f(\xi)$，且$\xi\in(x_1,x_2)$（或$(x_2,x_1)$），所以$\xi\neq x_i$，$i = 1,2$。