题目

1.设随机变量X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)相互独立，服从相同的正态分布N(mu,sigma^2)，则Y=(1)/(2sigma)(X_(1)^2+X_(2)^2+X_(3)^2+X_(4)^2-2X_(1)X_(2)-2X_(3)X_(4))服从____分布。

1.设随机变量$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$相互独立，服从相同的正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则$Y=\frac{1}{2\sigma}(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{4}^{2}-2X_{1}X_{2}-2X_{3}X_{4})$服从____分布。

题目解答

答案

将原表达式重写为： \[ Y = \frac{1}{2\sigma^2} \left[ (X_1 - X_2)^2 + (X_3 - X_4)^2 \right]. \] 由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，差 $X_i - X_j$ 服从 $N(0, 2\sigma^2)$。标准化后： \[ Z_1 = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0, 1), \] \[ Z_2 = \frac{X_3 - X_4}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0, 1). \] 则： \[ Y = Z_1^2 + Z_2^2, \] 其中 $Z_1^2$ 和 $Z_2^2$ 为独立标准正态变量的平方，服从自由度为 2 的卡方分布。 **答案：** $\boxed{\chi^2(2)}$

解析

考查要点：本题主要考查正态变量的线性组合、卡方分布的定义及标准化处理。

解题核心思路：

  1. 重组表达式：将原式中的平方项与交叉项配对，转化为两个独立正态变量差的平方和。
  2. 标准化处理：利用正态变量差的分布特性，将其标准化为标准正态变量。
  3. 卡方分布性质：标准正态变量的平方和服从卡方分布，自由度为变量个数。

破题关键点：

  • 识别平方差结构：将原式中的交叉项重组为$(X_1 - X_2)^2$和$(X_3 - X_4)^2$。
  • 差变量的分布：明确$X_i - X_j$服从$N(0, 2\sigma^2)$，并标准化为标准正态变量。
  • 卡方分布的构造：通过标准化后的变量平方和，直接得到卡方分布形式。

将原式$Y$展开并重组：
$Y = \frac{1}{2\sigma} \left[ (X_1^2 - 2X_1X_2 + X_2^2) + (X_3^2 - 2X_3X_4 + X_4^2) \right] = \frac{(X_1 - X_2)^2 + (X_3 - X_4)^2}{2\sigma}.$

步骤1：分析差变量的分布

  • $X_1 - X_2$和$X_3 - X_4$均服从$N(0, 2\sigma^2)$。
  • 标准化后：
    $Z_1 = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1), \quad Z_2 = \frac{X_3 - X_4}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1).$

步骤2：代入标准化变量
将$(X_1 - X_2)^2 = 2\sigma^2 Z_1^2$和$(X_3 - X_4)^2 = 2\sigma^2 Z_2^2$代入原式：
$Y = \frac{2\sigma^2 Z_1^2 + 2\sigma^2 Z_2^2}{2\sigma} = \sigma (Z_1^2 + Z_2^2).$

步骤3：确定分布类型

  • $Z_1^2$和$Z_2^2$是独立标准正态变量的平方，其和服从自由度为2的卡方分布，即$Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2(2)$。
  • 因此，$Y = \sigma \cdot \chi^2(2)$，但题目答案直接给出$\chi^2(2)$，需注意题目可能存在分母书写误差（应为$2\sigma^2$）。