题目

例2 设有pi_(1),pi_(2)和pi_(3)三个组，欲判别某样品x_(0)属于何组，已知p_(1)=0.05，p_(2)=0.65，p_(3)=0.30，f_(1)(x_(0))=0.10，f_(2)(x_(0))=0.63，f_(3)(x_(0))=2.4.假定误判代价矩阵为 & pi_(1) & pi_(2) & pi_(3) pi_(1) & c(1|1)=0 & c(2|1)=10 & c(3|1)=200 pi_(2) & c(1|2)=20 & c(2|2)=0 & c(3|2)=100 pi_(3) & c(1|3)=60 & c(2|3)=50 & c(3|3)=0对x_(0)进行判别.

例2 设有$\pi_{1},\pi_{2}$和$\pi_{3}$三个组，欲判别某样品$x_{0}$属于何组，已知$p_{1}=0.05$，$p_{2}=0.65$，$p_{3}=0.30$，$f_{1}(x_{0})=0.10$，$f_{2}(x_{0})=0.63$，$f_{3}(x_{0})=2.4$. 假定误判代价矩阵为 $$ \begin{array}{c|ccc} & \pi_{1} & \pi_{2} & \pi_{3} \\ \hline \pi_{1} & c(1|1)=0 & c(2|1)=10 & c(3|1)=200 \\ \pi_{2} & c(1|2)=20 & c(2|2)=0 & c(3|2)=100 \\ \pi_{3} & c(1|3)=60 & c(2|3)=50 & c(3|3)=0 \end{array} $$ 对$x_{0}$进行判别.

题目解答

答案

为了对样本 $ x_0 $ 进行判别，我们需要计算将 $ x_0 $ 判别为每个组的平均误判代价，并选择平均误判代价最小的组。平均误判代价 $ E(C|k) $ 的计算公式为： \[ E(C|k) = \sum_{i=1}^3 p_i f_i(x_0) c(i|k) \] 其中 $ p_i $ 是第 $ i $ 组的先验概率， $ f_i(x_0) $ 是 $ x_0 $ 属于第 $ i $ 组的密度函数， $ c(i|k) $ 是将第 $ i $ 组的样本误判为第 $ k $ 组的误判代价。我们分别计算将 $ x_0 $ 判别为 $ \pi_1 $， $ \pi_2 $ 和 $ \pi_3 $ 的平均误判代价。 1. 计算 $ E(C|1) $： \[ E(C|1) = p_1 f_1(x_0) c(1|1) + p_2 f_2(x_0) c(2|1) + p_3 f_3(x_0) c(3|1) \] \[ E(C|1) = 0.05 \times 0.10 \times 0 + 0.65 \times 0.63 \times 10 + 0.30 \times 2.4 \times 200 \] \[ E(C|1) = 0 + 4.095 + 144 \] \[ E(C|1) = 148.095 \] 2. 计算 $ E(C|2) $： \[ E(C|2) = p_1 f_1(x_0) c(1|2) + p_2 f_2(x_0) c(2|2) + p_3 f_3(x_0) c(3|2) \] \[ E(C|2) = 0.05 \times 0.10 \times 20 + 0.65 \times 0.63 \times 0 + 0.30 \times 2.4 \times 100 \] \[ E(C|2) = 0.1 + 0 + 72 \] \[ E(C|2) = 72.1 \] 3. 计算 $ E(C|3) $： \[ E(C|3) = p_1 f_1(x_0) c(1|3) + p_2 f_2(x_0) c(2|3) + p_3 f_3(x_0) c(3|3) \] \[ E(C|3) = 0.05 \times 0.10 \times 60 + 0.65 \times 0.63 \times 50 + 0.30 \times 2.4 \times 0 \] \[ E(C|3) = 0.3 + 20.475 + 0 \] \[ E(C|3) = 20.775 \] 比较三个平均误判代价： \[ E(C|1) = 148.095 \] \[ E(C|2) = 72.1 \] \[ E(C|3) = 20.775 \] 最小的平均误判代价是 $ E(C|3) $，因此样本 $ x_0 $ 应该判别为 $ \pi_3 $ 组。答案是 $\boxed{\pi_3}$.

解析

判别分析的核心在于根据误判代价选择最优分类。本题需计算将样本$x_0$判别到各组的平均误判代价，并选择最小者。关键点：

公式应用：使用公式$E(C|k) = \sum_{i=1}^3 p_i f_i(x_0) c(i|k)$，其中$p_i$为先验概率，$f_i(x_0)$为密度函数值，$c(i|k)$为误判代价。
误判代价矩阵：需准确对应每组间的误判代价，避免混淆行（真实组）与列（判别组）。

计算各组的平均误判代价

1. 判别为$\pi_1$的代价$E(C|1)$

$\begin{aligned}E(C|1) &= p_1 f_1 c(1|1) + p_2 f_2 c(2|1) + p_3 f_3 c(3|1) \\&= 0.05 \times 0.10 \times 0 + 0.65 \times 0.63 \times 10 + 0.30 \times 2.4 \times 200 \\&= 0 + 4.095 + 144 = 148.095\end{aligned}$

2. 判别为$\pi_2$的代价$E(C|2)$

$\begin{aligned}E(C|2) &= p_1 f_1 c(1|2) + p_2 f_2 c(2|2) + p_3 f_3 c(3|2) \\&= 0.05 \times 0.10 \times 20 + 0.65 \times 0.63 \times 0 + 0.30 \times 2.4 \times 100 \\&= 0.1 + 0 + 72 = 72.1\end{aligned}$

3. 判别为$\pi_3$的代价$E(C|3)$

$\begin{aligned}E(C|3) &= p_1 f_1 c(1|3) + p_2 f_2 c(2|3) + p_3 f_3 c(3|3) \\&= 0.05 \times 0.10 \times 60 + 0.65 \times 0.63 \times 50 + 0.30 \times 2.4 \times 0 \\&= 0.3 + 20.475 + 0 = 20.775\end{aligned}$

比较结果

$E(C|1) = 148.095$
$E(C|2) = 72.1$
$E(C|3) = 20.775$

最小值为$E(C|3)$，故判别结果为$\pi_3$。