题目

(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

题目解答

答案

设投篮命中率为 $p = 0.45$，则未命中率为 $1 - p = 0.55$。 **分布律：** $X$ 表示首次投中时累计已投篮的次数，服从几何分布，其分布律为： \[ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p = 0.55^{k-1} \times 0.45, \quad k = 1, 2, 3, \ldots \] **取偶数概率：** $X$ 取偶数时，$k = 2m$（$m$ 为正整数），概率和为： \[ \sum_{m=1}^{\infty} P(X = 2m) = \sum_{m=1}^{\infty} 0.55^{2m-1} \times 0.45 \] 提取公因子 $0.45$： \[ 0.45 \sum_{m=1}^{\infty} 0.55^{2m-1} = 0.45 \times \frac{0.55}{1 - 0.55^2} = 0.45 \times \frac{0.55}{0.6975} = \frac{11}{31} \] **答案：** 分布律：$P(X = k) = 0.55^{k-1} \times 0.45$，$k = 1, 2, 3, \ldots$ 取偶数概率：$\boxed{\frac{11}{31}}$

解析

考查要点：本题主要考查几何分布的理解与应用，以及无穷等比数列求和的能力。

解题核心思路：

识别分布类型：首次成功对应的试验次数服从几何分布。
写出分布律：直接应用几何分布的概率公式。
计算偶数概率：将偶数次成功转化为无穷等比数列求和，利用公式化简。

破题关键点：

几何分布的定义：首次成功时的试验次数，概率为$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$。
偶数次成功的转化：将$k=2m$代入分布律，提取公因子后转化为等比数列求和。

分布律推导

投篮命中率为$p=0.45$，未命中率为$q=1-p=0.55$。
$X$表示首次投中时的累计投篮次数，符合几何分布，其分布律为：
$P(X = k) = q^{k-1} p = 0.55^{k-1} \times 0.45, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$

偶数概率计算

求$X$取偶数的概率，即求：
$\sum_{m=1}^{\infty} P(X = 2m) = \sum_{m=1}^{\infty} 0.55^{2m-1} \times 0.45$

提取公因子

将表达式变形为：
$0.45 \sum_{m=1}^{\infty} 0.55^{2m-1} = 0.45 \times 0.55 \sum_{m=1}^{\infty} (0.55^2)^{m-1}$

等比数列求和

首项为$1$，公比为$q^2=0.55^2=0.3025$，和为：
$\sum_{m=1}^{\infty} (0.3025)^{m-1} = \frac{1}{1 - 0.3025} = \frac{1}{0.6975}$

化简结果

最终概率为：
$0.45 \times 0.55 \times \frac{1}{0.6975} = \frac{0.2475}{0.6975} = \frac{11}{31}$