题目
设总体 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2)，且 sigma^2 未知，(X_1, X_2, ..., X_n) 为其样本，overline(X) 为样本均值，S 为样本标准差，则对于假设检验问题为 H_0: mu = mu_0，H_1: mu neq mu_0，则 H_0 的拒绝域是(）A. T B. T > t_(alpha)(n-1)；C. |T| > t_((alpha)/(2))(n-1)；D. |T| > t_((alpha)/(2))(n)；
设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma^2$ 未知，$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 为其样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$S$ 为样本标准差，则对于假设检验问题为 $H_0: \mu = \mu_0$，$H_1: \mu \neq \mu_0$，则 $H_0$ 的拒绝域是(）
A. $T < -t_{\alpha}(n-1)$；
B. $T > t_{\alpha}(n-1)$；
C. $|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$；
D. $|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n)$；
题目解答
答案
C. $|T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$；
解析
步骤 1：确定检验统计量
由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用样本标准差 $S$ 来估计总体标准差。因此，我们使用t检验统计量，其定义为： \[ T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \] 其中 $\bar{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。在零假设 $H_0$ 下，这个统计量服从自由度为 $n-1$ 的t分布。
步骤 2：确定双侧检验的拒绝域
对于双侧检验 $H_{1}：\mu \neq \mu_{0}$，我们拒绝 $H_0$，如果t统计量的绝对值大于自由度为 $n-1$ 的t分布的 $\frac{\alpha}{2}$-上侧分位数。这个分位数表示为 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$。因此，$H_0$ 的拒绝域是： \[ |T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \]
由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用样本标准差 $S$ 来估计总体标准差。因此，我们使用t检验统计量，其定义为： \[ T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \] 其中 $\bar{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。在零假设 $H_0$ 下，这个统计量服从自由度为 $n-1$ 的t分布。
步骤 2：确定双侧检验的拒绝域
对于双侧检验 $H_{1}：\mu \neq \mu_{0}$，我们拒绝 $H_0$，如果t统计量的绝对值大于自由度为 $n-1$ 的t分布的 $\frac{\alpha}{2}$-上侧分位数。这个分位数表示为 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$。因此，$H_0$ 的拒绝域是： \[ |T| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \]