题目
7.判别下列二次型是否正定：(1)99x_(1)^2-12x_(1)x_(2)+48x_(1)x_(3)+130x_(2)^2-60x_(2)x_(3)+71x_(3)^2;(2)10x_(1)^2+8x_(1)x_(2)+24x_(1)x_(3)+2x_(2)^2-28x_(2)x_(3)+x_(3)^2;
7.判别下列二次型是否正定：
(1)99$x_{1}^{2}-12x_{1}x_{2}+48x_{1}x_{3}+130x_{2}^{2}-60x_{2}x_{3}+71x_{3}^{2}$;
(2)$10x_{1}^{2}+8x_{1}x_{2}+24x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}-28x_{2}x_{3}+x_{3}^{2}$;
题目解答
答案
(1) **二次型矩阵**：
$A = \begin{bmatrix} 99 & -6 & 24 \\ -6 & 130 & -30 \\ 24 & -30 & 71 \end{bmatrix}$
**顺序主子式**：
$D_1 = 99 > 0$，
$D_2 = 99 \times 130 - (-6)^2 = 12834 > 0$，
$D_3 = \det(A) = 755874 > 0$。
**结论**：所有主子式为正，正定。
(2) **二次型矩阵**：
$A = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 12 \\ 4 & 2 & -14 \\ 12 & -14 & 1 \end{bmatrix}$
**顺序主子式**：
$D_1 = 10 > 0$，
$D_2 = 10 \times 2 - 4^2 = 4 > 0$，
$D_3 = \det(A) = -3588 < 0$。
**结论**：$D_3 < 0$，非正定。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & \text{正定} \\
(2) & \text{非正定} \\
\end{array}
}
\]
解析
二次型正定性的判别主要依据矩阵的顺序主子式是否全部大于零。具体步骤如下：
- 构造二次型的矩阵：根据二次型的系数，写出对称矩阵$A$；
- 计算各阶顺序主子式：依次计算$D_1$（左上角1阶行列式）、$D_2$（左上角2阶行列式）、$D_3$（整个矩阵的行列式）；
- 判断正定性：若所有顺序主子式均大于零，则二次型正定；否则非正定。
第（1）题
二次型矩阵：
$A = \begin{bmatrix} 99 & -6 & 24 \\ -6 & 130 & -30 \\ 24 & -30 & 71 \end{bmatrix}$
计算顺序主子式
-
$D_1$：
$D_1 = 99 > 0$ -
$D_2$：
$D_2 = \begin{vmatrix} 99 & -6 \\ -6 & 130 \end{vmatrix} = 99 \times 130 - (-6)^2 = 12834 > 0$ -
$D_3$：
$D_3 = \det(A) = 755874 > 0$
结论：所有顺序主子式均大于零，二次型正定。
第（2）题
二次型矩阵：
$A = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 12 \\ 4 & 2 & -14 \\ 12 & -14 & 1 \end{bmatrix}$
计算顺序主子式
-
$D_1$：
$D_1 = 10 > 0$ -
$D_2$：
$D_2 = \begin{vmatrix} 10 & 4 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 10 \times 2 - 4^2 = 4 > 0$ -
$D_3$：
$D_3 = \det(A) = -3588 < 0$
结论：$D_3 < 0$，二次型非正定。