题目

6. 总体X，Y独立，Xsim N(150，400)，Ysim N(125，625)，各从中抽取容量为5的样本，overline(X)，overline(Y)分别样本均值，求overline(X)-overline(Y)leq0的概率.

6. 总体X，Y独立，$X\sim N(150，400)$，$Y\sim N(125，625)$，各从中抽取容量为5的样本，$\overline{X}$，$\overline{Y}$分别样本均值，求$\overline{X}-\overline{Y}\leq0$的概率.

题目解答

答案

为了求解 $\overline{X} - \overline{Y} \leq 0$ 的概率，我们需要首先确定 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布。由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的正态随机变量，它们的样本均值 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 也都是正态随机变量，且它们的差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 也是正态随机变量。 1. **确定 $\overline{X}$ 的分布：** - $X \sim N(150, 400)$ - 样本容量 $n_1 = 5$ - 样本均值 $\overline{X} \sim N\left(150, \frac{400}{5}\right) = N(150, 80)$ 2. **确定 $\overline{Y}$ 的分布：** - $Y \sim N(125, 625)$ - 样本容量 $n_2 = 5$ - 样本均值 $\overline{Y} \sim N\left(125, \frac{625}{5}\right) = N(125, 125)$ 3. **确定 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布：** - 由于 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 是独立的，$\overline{X} - \overline{Y} \sim N\left(150 - 125, 80 + 125\right) = N(25, 205)$ 4. **标准化 $\overline{X} - \overline{Y}$：** - 我们需要将 $\overline{X} - \overline{Y}$ 标准化为标准正态变量 $Z$。 - 标准化公式： $Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - \mu_{\overline{X} - \overline{Y}}}{\sigma_{\overline{X} - \overline{Y}}}$ - 这里，$\mu_{\overline{X} - \overline{Y}} = 25$，$\sigma_{\overline{X} - \overline{Y}} = \sqrt{205}$ - 所以， $Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - 25}{\sqrt{205}}$ 5. **求 $\overline{X} - \overline{Y} \leq 0$ 的概率：** - 转换为标准正态分布的概率： $P(\overline{X} - \overline{Y} \leq 0) = P\left(Z \leq \frac{0 - 25}{\sqrt{205}}\right)$ - 计算标准正态变量的值： $\frac{0 - 25}{\sqrt{205}} \approx \frac{-25}{14.3178} \approx -1.7462$ - 查找标准正态分布表或使用计算器找到 $P(Z \leq -1.7462)$ - $P(Z \leq -1.7462) \approx 0.0404$ 因此，$\overline{X} - \overline{Y} \leq 0$ 的概率是 $\boxed{0.0404}$。

解析

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于先确定样本均值 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 的分布，再根据正态分布的性质求出 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布，最后通过标准化将其转化为标准正态分布来计算概率。

  1. 确定 $\overline{X}$ 的分布：
    • 已知总体 $X\sim N(150, 400)$，样本容量 $n_1 = 5$。
    • 根据样本均值的分布性质，若总体 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$，样本容量为 $n$，则样本均值 $\overline{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
    • 所以 $\overline{X}\sim N\left(150, \frac{400}{5}\right) = N(150, 80)$。
  2. 确定 $\overline{Y}$ 的分布：
    • 已知总体 $Y\sim N(125, 625)$，样本容量 $n_2 = 5$。
    • 同理可得，$\overline{Y}\sim N\left(125, \frac{625}{5}\right) = N(125, 125)$。
  3. 确定 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布：
    • 因为 $X$ 和 $Y$ 独立，所以 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 也独立。
    • 若两个独立的正态随机变量 $A\sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$B\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，则 $A - B\sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。
    • 所以 $\overline{{X} - \overline{Y} \sim N\left(150 - 125, 80 + 125\right) = N(25, 205)$。
  4. 标准化 $\overline{X} - \overline{Y}$：
    • 设 $Z$ 为标准正态变量，标准化公式为 $Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - \mu_{\overline{X} - \overline{Y}}}{\sigma_{\overline{X} - \overline{Y}}}$，其中 $\mu_{\overline{X} - \overline{Y}} = 25$，$\sigma_{\overline{X} - \overline{Y}} = \sqrt{205}$。
    • 则 $Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - 25}{\sqrt{205}}$。
  5. 求 $\overline{X} - \overline{Y} \leq 0$ 的概率：
    • $P(\overline{X} - \overline{Y} \leq 0) = P\left(Z \leq \frac{0 - 25}{\sqrt{205}}\right)$。
    • 计算 $\frac{0 - 25}{\sqrt号{205}} \approx \frac{-25}{14.3178} \approx -1.7462$。
    • 查标准正态分布表或使用计算器可得 $P(Z \leq -1.7462) \approx 0.0号{404}$。