题目

设某次考试的考生成绩服从正态分布记为Xsim N(mu,sigma^2)，mu，sigma^2均未知.从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为68分，标准差为8分，问在显著性水平alpha=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出假设检验过程.(提供查表数据：t_(9025)(35)=2.0301)

设某次考试的考生成绩服从正态分布记为$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$，$\sigma^{2}$均未知.从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为68分，标准差为8分，问在显著性水平$\alpha=0.05$下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出假设检验过程. (提供查表数据：$t_{9025}(35)=2.0301$)

题目解答

答案

为了确定在显著性水平$\alpha = 0.05$下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，我们需要进行假设检验。以下是假设检验的步骤： 1. **陈述假设：** - 零假设$H_0$：$\mu = 70$ - 备择假设$H_1$：$\mu \neq 70$ 2. **确定检验统计量：** 由于总体标准差$\sigma$未知，且样本量为36（较小），我们使用t检验。检验统计量为： \[ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \] 其中$\bar{X}$是样本均值，$\mu_0$是假设的总体均值，$s$是样本标准差，$n$是样本量。 3. **代入已知值：** - 样本均值$\bar{X} = 68$ - 假设的总体均值$\mu_0 = 70$ - 样本标准差$s = 8$ - 样本量$n = 36$ 检验统计量变为： \[ t = \frac{68 - 70}{8 / \sqrt{36}} = \frac{-2}{8 / 6} = \frac{-2}{\frac{4}{3}} = -2 \times \frac{3}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5 \] 4. **确定自由度和临界值：** 自由度$df = n - 1 = 36 - 1 = 35$。对于双侧检验，显著性水平$\alpha = 0.05$，我们找到t分布表中$\alpha/2 = 0.025$和自由度为35的临界值。根据题目，$t_{0.025}(35) = 2.0301$。 5. **比较检验统计量与临界值：** 检验统计量$t = -1.5$的绝对值为 $|t| = 1.5$。由于 $1.5 < 2.0301$，我们不拒绝零假设。 6. **结论：** 在显著性水平$\alpha = 0.05$下，没有足够的证据拒绝零假设。因此，我们可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。 最终答案是： \[ \boxed{\text{可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分}} \]

解析

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，涉及假设检验的基本步骤、检验统计量的计算及结论推断。

解题核心思路：

  1. 确定假设形式：根据题意，需检验总体均值是否等于70分，因此采用双侧检验。
  2. 选择检验统计量：由于总体方差未知且样本量较小（n=36），使用t检验统计量。
  3. 计算检验统计量：代入样本均值、假设均值、样本标准差和样本量。
  4. 确定临界值：根据自由度（n-1=35）和显著性水平α=0.05，结合查表数据判断是否拒绝原假设。

破题关键点：

  • 正确选择检验类型（t检验而非z检验）。
  • 准确计算t值并比较临界值。

1. 陈述假设

  • 零假设：$H_0: \mu = 70$（全体考生平均成绩为70分）
  • 备择假设：$H_1: \mu \neq 70$（全体考生平均成绩不等于70分）

2. 确定检验统计量

由于总体方差$\sigma^2$未知，且样本量$n=36$较小，采用t检验，统计量公式为：
$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
其中$\bar{X}=68$，$\mu_0=70$，$s=8$，$n=36$。

3. 计算检验统计量

$t = \frac{68 - 70}{8 / \sqrt{36}} = \frac{-2}{8/6} = \frac{-2}{\frac{4}{3}} = -1.5$

4. 确定临界值

  • 自由度：$df = n - 1 = 35$
  • 双侧检验临界值：查表得$t_{0.025}(35) = 2.0301$，拒绝域为$|t| > 2.0301$

5. 比较与结论

  • 检验统计量绝对值：$|t| = 1.5 < 2.0301$
  • 结论：不拒绝$H_0$，即没有足够证据表明平均成绩不等于70分。