题目

在下列复数中，使得 e^z=2 成立的是（ ）。A. (A) z=2 ;B. (B) z=ln 2 + 2pi i;C. (C) z=sqrt(2)D. (D) z=ln 2 + pi i.

在下列复数中，使得 $e^z=2$ 成立的是（ ）。

A. (A) $z=2$ ;

B. (B) $z=\ln 2 + 2\pi i$;

C. (C) $z=\sqrt{2}$

D. (D) $z=\ln 2 + \pi i$.

题目解答

答案

根据题意，我们需要找出使得等式 $e^z = 2$ 成立的复数 $z$。

设复数 $z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 均为实数。
根据复数指数函数的定义，我们有：
$e^z = e^{x + iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$

题目要求 $e^z = 2$。将等式右边的 $2$ 看作复数 $2 + 0i$。
因此，我们有：
$e^x (\cos y + i \sin y) = 2 + 0i$

比较等式两边的实部和虚部，可以得到：

  1. 实部：$e^x \cos y = 2$
  2. 虚部：$e^x \sin y = 0$

由虚部方程 $e^x \sin y = 0$，因为对于任意实数 $x$，$e^x > 0$ 恒成立，所以必须有：
$\sin y = 0$
这解得 $y = k\pi$，其中 $k$ 为整数（$k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$）。

将 $y = k\pi$ 代入实部方程 $e^x \cos y = 2$ 中：
当 $k$ 为偶数时（即 $k = 2n$），$y = 2n\pi$，此时 $\cos y = \cos(2n\pi) = 1$。
方程变为 $e^x \cdot 1 = 2$，解得 $e^x = 2$，即 $x = \ln 2$。
所以 $z = x + iy = \ln 2 + i(2n\pi)$。

当 $k$ 为奇数时（即 $k = 2n + 1$），$y = (2n + 1)\pi$，此时 $\cos y = \cos((2n + 1)\pi) = -1$。
方程变为 $e^x \cdot (-1) = 2$，即 $e^x = -2$。因为 $e^x > 0$，此方程无实数解。

综上所述，使得 $e^z = 2$ 成立的复数 $z$ 的一般形式为：
$z = \ln 2 + 2n\pi i \quad (n \text{ 为整数})$

现在我们来对照选项：
(A) $z = 2$：代入得 $e^2 \neq 2$，不成立。
(B) $z = \ln 2 + 2\pi i$：这对应于 $n = 1$ 的情况，符合我们的推导结果。
(C) $z = \sqrt{2}$：代入得 $e^{\sqrt{2}} \neq 2$，不成立。
(D) $z = \ln 2 + \pi i$：代入得 $e^{\ln 2 + \pi i} = e^{\ln 2} \cdot e^{\pi i} = 2 \cdot (\cos \pi + i \sin \pi) = 2 \cdot (-1) = -2 \neq 2$，不成立。

因此，正确的选项是 (B)。

答案：
(B) $z = \ln 2 + 2\pi i$

解析

本题考查复数指数函数的定义及复数相等的条件。解题思路是先设出复数$z$的一般形式$z = x + iy$（$x,y\in R$），然后根据复数指数函数的定义将$e^z$展开，再结合复数相等的条件（实部与实部相等，虚部与虚部相等）求出$x$和$y$的值，最后得到$z$的一般形式，再逐一分析选项。

  1. 设复数$z = x + iy$，其中$x$和$y$均为实数。
    根据复数指数函数的定义$e^{a + bi}=e^a(\cos b + i\sin b)$，可得：
    $e^z = e^{x + iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$
  2. 因为$e^z = 2$，将$2$看作复数$2 + 0i$，则有：
    $e^x (\cos y + i \sin y) = 2 + 0i$
  3. 比较等式两边的实部和虚部：
    • 实部：$e^x \cos y = 2$
    • 虚部：$e^x \sin y = 0$
  4. 由虚部方程$e^x \sin y = 0$，因为对于任意实数$x$，$e^x > 0$恒成立，所以必须有$\sin y = 0$。
    根据正弦函数的性质，$\sin y = 0$时，$y = k\pi$，其中$k$为整数（$k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$）。
  5. 将$y = k\pi$代入实部方程$e^x \cos y = 2$中：
    • 当$k$为偶数时（即$k = 2n$），$y = 2n\pi$，此时$\cos y = \cos(2n\pi) = 1$。
      方程变为$e^x \cdot 1 = 2$，即$e^x = 2$。
      根据对数的定义，若$e^x = 2$，则$x = \ln 2$。
      所以$z = x + iy = \ln 2 + i(2n\pi)$。
    • 当$k$为奇数时（即$k = 2n + 1$），$y = (2n + 1)\pi$，此时$\cos y = \cos((2n + 1)\pi) = -1$。
      方程变为$e^x \cdot (-1) = 2$，即$e^x = -2$。
      因为$e^x > 0$，所以此方程无实数解。
  6. 综上所述，使得$e^z = 2$成立的复数$z$的一般形式为$z = \ln 2 + 2n\pi i$（$n$为整数）。
  7. 对照选项：
    • 选项A：$z = 2$，代入$e^z$得$e^2 \neq 2$，不成立。
    • 选项B：$z = \ln 2 + 2\pi i$，这对应于$n = 1$的情况，符合我们的推导结果。
    • 选项C：$z = \sqrt{2}$，代入$e^z$得$e^{\sqrt{2}} \neq 2$，不成立。
    • 选项D：$z = \ln 2 + \pi i$，代入$e^z$得：
      $e^{\ln 2 + \pi i} = e^{\ln 2} \cdot e^{\pi i}$
      根据复数指数函数的定义$e^{a + bi}=e^a(\cos b + i\sin b)$，可得$e^{\pi i}=\cos \pi + i \sin \pi$，又因为$\cos \pi = -1$，$\sin \pi = 0$，所以$e^{\pi i} = -1$。
      则$e^{\ln 2 + \pi i} = e^{\ln 2} \cdot (-1)= 2 \cdot (-1) = -2 \neq 2$，不成立。