改变下列表达式，使计算结果比较精确：(1) (1)/(1+2x) - (1-x)/(1+x), |x| << 1(2) sqrt(1+(1)/(x)) - sqrt(1-(1)/(x)), |x| >> 1(3) (1-cos x)/(x), x neq 0, |x| << 1(4) sin alpha - sin beta, alpha approx beta

考查要点：本题主要考查在特定条件下（如变量趋近于0或无穷大）对表达式进行变形，以减少计算误差、提高精度的能力。
核心思路：

1. 通分或有理化：消除分母或根号中的小量相减导致的误差；
2. 泰勒展开：用多项式近似展开消除高阶小量；
3. 和差化积公式：将相近角度的三角函数差转化为乘积形式，避免直接相减的精度损失。

第（1）题

关键点：当 $|x| \ll 1$ 时，直接计算 $\frac{1}{1+2x} - \frac{1-x}{1+x}$ 可能因分母展开误差叠加。

通分合并

将两分式通分，合并后分子展开并化简：
$\begin{aligned} \text{原式} &= \frac{1+x - (1-x)(1+2x)}{(1+2x)(1+x)} \\ &= \frac{1+x - (1+x-2x^2)}{(1+2x)(1+x)} \\ &= \frac{2x^2}{(1+2x)(1+x)}. \end{aligned}$
优势：保留了 $x^2$ 高阶项，避免直接相减的误差。

第（2）题

关键点：当 $|x| \gg 1$ 时，$\frac{1}{x}$ 很小，直接计算平方根差易失精度。

有理化处理

分子分母同乘以共轭表达式：
$\begin{aligned} \text{原式} &= \frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}} - \sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}} \\ &= \frac{\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}}. \end{aligned}$
优势：分母变为两正数之和，避免了小量相减。

第（3）题

关键点：当 $|x| \ll 1$ 时，$1-\cos x$ 中的高阶小量被忽略，导致误差。

泰勒展开近似

利用 $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$（保留二次项）：
$\text{原式} = \frac{1 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)}{x} = \frac{x^2/2}{x} = \frac{x}{2}.$
优势：消除了二次小量，保留一次项。

第（4）题

关键点：当 $\alpha \approx \beta$ 时，$\sin \alpha - \sin \beta$ 直接计算误差大。

和差化积公式

应用公式 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$：
$\text{原式} = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).$
优势：转化为乘积形式，避免相近角度相减。