6.设A为 times n 阶矩阵,且 (A)=mlt n, 则 ()-|||-(A)A的任意m个列向量都线性无关-|||-(B)A的任意m阶子式都不等于零-|||-(C)非齐次线性方程组 =b 一定有无穷多个解-|||-(D)矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em:O )

考查要点：本题主要考查矩阵秩的性质及其在非齐次线性方程组解的结构中的应用，涉及线性相关性、子式、解的存在唯一性等概念。

解题核心思路：

1. 秩的性质：矩阵秩为$m$，说明存在$m$个线性无关的列向量，但并非所有$m$阶子式均非零。
2. 非齐次方程组解的情况：当增广矩阵秩与系数矩阵秩相等时，方程组有解；结合未知数个数$n > m$，可推出解为无穷多解。
3. 初等行变换的局限性：初等行变换不改变秩，但无法保证将矩阵化为特定形式$(E_m | O)$。

破题关键点：

• 选项C的关键在于利用秩的条件判断方程组解的情况，结合$n > m$得出解空间维度为$n - m > 0$，从而确定解为无穷多解。

选项分析

选项A

错误。矩阵$A$的秩为$m$，说明存在$m$个线性无关的列向量，但并非任意$m$个列向量均线性无关。例如，若某列全为$0$，则包含该列的任意$m$个列向量均线性相关。

选项B

错误。虽然矩阵秩为$m$，说明至少存在一个$m$阶子式非零，但并非所有$m$阶子式均非零。例如，若某$m$列线性相关，则对应子式为$0$。

选项C

正确。

1. 方程组有解：由$r(A) = r(\overline{A}) = m$，增广矩阵秩与系数矩阵秩相等，方程组$AX = b$有解。
2. 解的个数：未知数个数$n > m = r(A)$，解空间维度为$n - m > 0$，故有无穷多解。

选项D

错误。初等行变换只能改变行，无法保证将所有右侧列变为$0$。实际行最简形应为前$m$列含主元，但右侧列可能非零。