题目

一、单选题（共20题，100.0分）6.（单选题，5.0分）设成年男子身高X(cm)服从N(170，36)，某种公共汽车车门高度是按成年男子碰头的概率小于0.01来设计的，问车门的高度最少应为（）。（Φ(2.33)=0.99）A 180B 182C 184D 186

一、单选题（共20题，100.0分） 6.（单选题，5.0分） 设成年男子身高X(cm)服从N(170，36)，某种公共汽车车门高度是按成年男子碰头的概率小于0.01来设计的，问车门的高度最少应为（）。（Φ(2.33)=0.99） A 180 B 182 C 184 D 186

题目解答

答案

设成年男子身高 $X$ 服从正态分布 $N(170, 36)$，即 $\mu = 170$，$\sigma = 6$。
为使碰头概率小于0.01，需满足 $P(X > h) < 0.01$。
将 $X$ 转化为标准正态分布 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，得：
$P\left(Z > \frac{h - 170}{6}\right) < 0.01$
由标准正态分布表知 $\Phi(2.33) = 0.99$，即 $P(Z \leq 2.33) = 0.99$，故：
$\frac{h - 170}{6} > 2.33$
解得 $h > 183.98$，取整数得 $h = 184$。

答案： $\boxed{C}$

解析

本题考查正态分布的应用，解题思路是先明确已知的正态分布参数，再根据碰头概率的条件建立不等式，最后通过标准正态分布表求解车门高度。

  1. 已知成年男子身高$X$服从正态分布$N(170, 36)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的参数含义，可得均值$\mu = 170$，标准差$\sigma=\sqrt{36} = 6$。
  2. 设车门高度为$h$，要使成年男子碰头的概率小于$0.01$，即$P(X > h)<0.01$。
  3. 为了利用标准正态分布表，将$X$进行标准化变换，令$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。那么$P(X > h)=P\left(\frac{X - 170}{6}>\frac{h - 170}{6}\right)=P\left(Z>\frac{h - 170}{6}\right)$，所以$P\left(Z>\frac{h - 170}{6}\right)<0.01$。
  4. 根据标准正态分布的性质，$P\left(Z>\frac{h - 170}{6}\right)=1 - P\left(Z\leqslant\frac{h - 170}{6}\right)$，则$1 - P\left(Z\leqslant\frac{h - 170}{6}\right)<0.01$，移项可得$P\left(Z\leqslant\frac{h - 170}{6}\right)>1 - 0.01=0.99$。
  5. 已知$\varPhi(2.33)=0.99$，且$\varPhi(z)=P(Z\leqslant z)$，所以$\frac{h - 170}{6}>2.33$。
  6. 解不等式$\frac{h - 170}{6}>2.33$，两边同时乘以$6$得$h - 170>2.33\times6$，即$h - 170>13.98$，再两边同时加$170$，解得$h>170 + 13.98=183.98$。因为车门高度应为整数，所以$h$取$184$。