题目

设总体服从参数的指数分布，为来自总体的简单随机样，若为的无偏估计量，则____

设总体 $X$ 服从参数 $\theta$ 的指数分布， $X_1,X_2,X_3$ 为来自总体的简单随机样，若 $\bar{\theta}=k\min_{1\leq i\leq3}\{X_{i}\}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，则 $k=$ ____

题目解答

答案

设 $Y=min\{X_{1},X_{2},X_{3}\},X_{i}\sim E(\theta),i=1,2,3$

$F_Y(y)=1-(1-F_X(y))^3$ ，对于 $X\sim E(\theta)$ ，他的分布函数 $F_X(y)=1-e^{-\theta y}(y\ge0)$ 。

∴ $F_Y(y)=1-(1-(1-e^{-\theta y}))^3=1-e^{-3\theta y}(y\ge0)$

$Y$ 的概率密度函数为 $f_Y(y)=3\theta e^{-3\theta y}(y\ge0)$ 。

令 $u=y,dv=3\theta e^{-3\theta y}dy$ ，则 $du=dy,v=-e^{-3\theta y}$ 。

那么 $\begin{aligned} & E(Y)=\int_{0}^{\infty}y\cdot3\theta e^{-3\theta y}dy=\left[-ye^{-3\theta y}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-3\theta y}dy \\ & =\left[-ye^{-3\theta y}\right]_0^\infty-\frac{1}{3\theta}\left[e^{-3\theta y}\right]_0^\infty=\frac{1}{3\theta}. \end{aligned}$

∵ $\overline{\theta}=kmin\{X_{i}\}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。∴ $E(\overline{\theta})=\theta$

$E(\overline{\theta})=E(kmin\{X_i\})=kE(min\{X_i\})=\frac{k}{3\theta}=\theta$ ，解得 $k=3$ 。综上所述，本题的答案是3。

解析

步骤 1：定义随机变量Y
设$Y=min\{ {X}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\} $，其中${X}_{i}\sim E(\theta ),i=1,2,3$，即$X_i$服从参数为$\theta$的指数分布。

步骤 2：求Y的分布函数
对于$X\sim E(\theta )$，其分布函数${F}_{x}(y)=1-{e}^{-\theta y}(y\geqslant 0)$。因此，$Y$的分布函数${F}_{Y}(y)=1-{(1-{e}^{-\theta y})}^{3}$，简化后得到${F}_{Y}(y)=1-{e}^{-3\theta y}(y\geqslant 0)$。

步骤 3：求Y的概率密度函数
由${F}_{Y}(y)$的表达式，可以得到$Y$的概率密度函数${f}_{Y}(y)=3\theta {e}^{-3\theta y}(y\geqslant 0)$。

步骤 4：求Y的期望值
利用概率密度函数${f}_{Y}(y)$，计算$Y$的期望值$E(Y)$。通过分部积分法，得到$E(Y)=\frac{1}{3\theta}$。

步骤 5：确定k的值
由于$\overline {\theta }=kmin\{ {X}_{i}\} $是$\theta$的无偏估计量，即$E(\overline {\theta })=\theta$。因此，$E(kmin\{ {X}_{i}\})=kE(Y)=k\frac{1}{3\theta}=\theta$。解得$k=3$。