【单选题】本题共20小题，每小题4分，共80分，在每小题给出的几个选项中，只有一项是符合题目要求的。8/20 设向量组 (1,1,1)^T,(a,1,0)^T,(1,b,0)^T 线性相关，则数a,b可取值为A、bigcirc a=0,b=0B、bigcirc a=0,b=1C、bigcirc a=1,b=0D、bigcirc a=1,b=1

考查要点：本题主要考查向量组线性相关的判定条件，以及行列式的计算。

解题核心思路：
向量组线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式为零。因此，需将向量组排列成矩阵，计算行列式并令其等于零，解方程得到$a$和$b$的关系。

破题关键点：

1. 正确构造矩阵：将三个向量作为列向量组成3×3矩阵。
2. 计算行列式：通过展开行列式得到方程$ab - 1 = 0$。
3. 代入选项验证：找出满足$ab = 1$的选项。

将向量组$(1,1,1)^T$、$(a,1,0)^T$、$(1,b,0)^T$作为列向量组成矩阵：
$A = \begin{pmatrix}1 & a & 1 \\1 & 1 & b \\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$

计算行列式：
按第一行展开：
$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & b \\ 0 & 0\end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix}1 & b \\ 1 & 0\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix}$

逐项计算：

1. 第一项：$\begin{vmatrix}1 & b \\ 0 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - b \cdot 0 = 0$
2. 第二项：$\begin{vmatrix}1 & b \\ 1 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - b \cdot 1 = -b$
3. 第三项：$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$

代入得：
$\det(A) = 1 \cdot 0 - a \cdot (-b) + 1 \cdot (-1) = ab - 1$

线性相关条件：
向量组线性相关等价于$\det(A) = 0$，即：
$ab - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad ab = 1$

选项验证：

• A: $a=0, b=0$，$ab=0 \neq 1$
• B: $a=0, b=1$，$ab=0 \neq 1$
• C: $a=1, b=0$，$ab=0 \neq 1$
• D: $a=1, b=1$，$ab=1$（满足条件）