236综合题 设函数f(x)在点x=0处连续可导，且f(0)=1，f'(0)=4，则lim_(xto0)[f(sin x)]^(1)/(2x)=（）.A. 1B. eC. e^(1)/(2)D. e^2

本题考查函数连续性、导数定义以及重要极限公式的应用。解题的关键思路是先对原式进行变形，使其符合重要极限$\lim\limits_{t\to0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$的形式，再利用函数在某点的导数定义来计算极限。

1. 首先对原式进行变形：
   设$y = [f(\sin x)]^{\frac{1}{2x}}$，两边取自然对数可得$\ln y=\frac{1}{2x}\ln f(\sin x)$。
   那么$\lim\limits_{x\to0}[f(\sin x)]^{\frac{1}{2x}}=\lim\limits_{x\to0}y = e^{\lim\limits_{x\to0}\ln y}=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln f(\sin x)}{2x}}$。

2. 然后对$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln f(\sin x)}{2x}$进行处理：
   因为$f(0)=1$，所以$\ln f(\sin x)=\ln(1 + f(\sin x)-1)$。
   当$x\to0$时，$\sin x\to0$，进而$f(\sin x)-1\to f(0)-1 = 0$，此时$\ln(1 + f(\sin x)-1)\sim f(\sin x)-1$（等价无穷小替换）。
   则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln f(\sin x)}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\sin x)-1}{2x}$。

3. 接着利用导数定义进一步计算：
   令$t = \sin x$，当$x\to0$时，$t\to0$，且$\sin x\sim x$（等价无穷小替换）。
   $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\sin x)-1}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\sin x)-f(0)}{2\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}$。
   根据导数的定义$f^\prime(0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}$，这里$t = \sin x$，所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}=f^\prime(0)$。
   又因为$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\sin x)-f(0)}{2\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2}f^\prime(0)\times1$。

4. 最后代入$f^\prime(0)=4$计算：
   $\frac{1}{2}f^\prime(0)=\frac{1}{2}\times4 = 2$。
   所以$\lim\limits_{x\to0}[f(\sin x)]^{\frac{1}{2x}}=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln f(\sin x)}{2x}}=e^{2}$。