求曲线 x^3 - xy + y^3 = 1 (x geq 0, y geq 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。

我们要求的是曲线
$x^3 - xy + y^3 = 1 \quad (x \geq 0, y \geq 0)$
上所有点到原点的最长距离和最短距离。

一、问题理解

设点 $(x, y)$ 在曲线上，其到原点的距离为：

$D = \sqrt{x^2 + y^2}$

我们要在满足约束条件 $x^3 - xy + y^3 = 1$，且 $x \geq 0, y \geq 0$ 的条件下，求 $D$ 的最大值和最小值。

二、使用拉格朗日乘数法

我们令目标函数为：
$f(x, y) = x^2 + y^2$

约束条件为：
$g(x, y) = x^3 - xy + y^3 - 1 = 0$

使用拉格朗日乘数法，构造函数：

$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^3 - xy + y^3 - 1)$

对 $x, y, \lambda$ 求偏导并令其为 0：

1. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda(3x^2 - y) = 0$
2. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y - \lambda(-x + 3y^2) = 0$
3. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x^3 - xy + y^3 - 1) = 0$

三、解方程组

从 (1) 得：

$2x = \lambda(3x^2 - y) \quad \text{(1)}$

从 (2) 得：

$2y = \lambda(-x + 3y^2) \quad \text{(2)}$

从 (3) 得：

$x^3 - xy + y^3 = 1 \quad \text{(3)}$

我们尝试从 (1) 和 (2) 中消去 $\lambda$。

从 (1) 解出 $\lambda$：

$\lambda = \frac{2x}{3x^2 - y}$

从 (2) 解出 $\lambda$：

$\lambda = \frac{2y}{-x + 3y^2}$

令两式相等：

$\frac{2x}{3x^2 - y} = \frac{2y}{-x + 3y^2}$

两边同时乘以分母：

$2x(-x + 3y^2) = 2y(3x^2 - y)$

展开：

$-2x^2 + 6xy^2 = 6x^2y - 2y^2$

整理：

$-2x^2 + 6xy^2 - 6x^2y + 2y^2 = 0$

$-2x^2 + 2y^2 + 6xy^2 - 6x^2y = 0$

这个方程比较复杂，我们尝试代入一些简单的点，看是否满足约束条件。

四、尝试代入简单点

1. 令 $x = y$

代入约束条件：

$x^3 - x^2 + x^3 = 1 \Rightarrow 2x^3 - x^2 = 1$

解这个方程：

$2x^3 - x^2 - 1 = 0$

尝试用有理根定理，试 $x = 1$：

$2(1)^3 - (1)^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$

所以 $x = 1$ 是根。

分解多项式：

$2x^3 - x^2 - 1 = (x - 1)(2x^2 + x + 1)$

其中 $2x^2 + x + 1 > 0$，所以唯一实根是 $x = 1$

所以 $x = y = 1$ 是一个满足条件的点。

此时到原点的距离为：

$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

2. 令 $x = 0$

代入约束条件：

$0 - 0 + y^3 = 1 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$ 所以点 $(0, 1)$ 也在曲线上，距离为：$

\sqrt{0^2 + 1^2} = 1
$#### 3. 令 $y = 0$ 代入约束条件：$
x^3 - 0 + 0 = 1 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$

所以点 $(1, 0)$ 也在曲线上，距离为：

$\sqrt{1^2 + 0^2} = 1$

五、比较距离

我们目前找到的点有：

• $(1, 1)$，距离 $\sqrt{2}$
• $(0, 1)$，距离 1
• $(1, 0)$，距离 1

所以：

• 最短距离：1
• 最长距离：$\sqrt{2}$

✅ 最终答案：

• 最短距离：$\boxed{1}$
• 最长距离：$\boxed{\sqrt{2}}$