【题目】9.设X1, X_2 ,…,Xn是来自总体X的一个样本,设E(X)=μ, D(X)=σ^2(1)确定常数c,使 ∑_(i=1)^(n-1)(X_(i+1)-X_i)^2 为 σ^2 的无偏估计;=(2)确定常数c使 (X)^2-cS^2 是 μ^2 的无偏估计(X, S^2 是样本均值和样本方差)

考查要点：本题主要考查无偏估计量的构造，涉及统计量的期望计算及方差性质的应用。

解题思路：

1. 第（1）题：通过展开平方项，利用独立样本的方差性质，计算统计量的期望，令其等于$\sigma^2$，解出常数$c$。
2. 第（2）题：结合样本均值和样本方差的无偏性，展开表达式后，令其期望等于$\mu^2$，解出常数$c$。

破题关键：

• 独立性：样本之间相互独立，协方差为0。
• 方差展开：$(X_{i+1}-X_i)^2$的期望可通过方差和期望平方的关系计算。
• 无偏性条件：统计量的期望需严格等于待估参数。

第（1）题

展开平方项

$(X_{i+1}-X_i)^2 = X_{i+1}^2 - 2X_{i+1}X_i + X_i^2$

计算期望

$\begin{aligned}E[(X_{i+1}-X_i)^2] &= E[X_{i+1}^2] + E[X_i^2] - 2E[X_{i+1}X_i] \\&= (\sigma^2 + \mu^2) + (\sigma^2 + \mu^2) - 2\mu^2 \quad (\text{独立性}) \\&= 2\sigma^2\end{aligned}$

总和的期望

$E\left[ c\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_i)^2 \right] = c \cdot (n-1) \cdot 2\sigma^2$

无偏性条件

$c \cdot 2\sigma^2(n-1) = \sigma^2 \implies c = \frac{1}{2(n-1)}$

第（2）题

样本均值的性质

$E(X) = \mu, \quad E(X^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$

样本方差的无偏性

$E(S^2) = \sigma^2$

期望展开

$E(X^2 - cS^2) = \left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) - c\sigma^2$

无偏性条件

$\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 - c\sigma^2 = \mu^2 \implies c = \frac{1}{n}$