已知 lim_(x to +infty) ( 5x - sqrt(ax^2 - bx + c) ) = 2，求 a, b 之值.

我们已知：

$\lim_{x \to +\infty} \left( 5x - \sqrt{ax^2 - bx + c} \right) = 2$

要求 $ a $ 和 $ b $ 的值（注意：题目未要求 $ c $，所以 $ c $ 可能作为中间参数消去）。

第一步：分析极限形式

当 $ x \to +\infty $，表达式为 $ 5x - \sqrt{ax^2 - bx + c} $。

我们注意到，若 $ \sqrt{ax^2 - bx + c} $ 的增长速度与 $ 5x $ 相当，才可能使极限为有限值（这里是 2）。因此，根号内的二次项必须与 $ 5x $ 匹配。

即：
$\sqrt{ax^2 - bx + c} \sim \sqrt{a}x \quad (x \to \infty)$
所以：
$5x - \sqrt{a}x \to 2 \quad \text{（有限值）}$
这说明 $ 5 - \sqrt{a} = 0 $，否则极限会趋于无穷或负无穷。

第二步：确定 $ a $

由上述分析：
$\lim_{x \to \infty} (5x - \sqrt{a}x + \cdots) = (5 - \sqrt{a})x + \cdots$
若 $ 5 - \sqrt{a} \ne 0 $，极限为 $ \pm\infty $，但题目中极限为 2（有限），所以必须有：
$5 - \sqrt{a} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{a} = 5 \quad \Rightarrow \quad a = 25$

第三步：代入 $ a = 25 $，化简极限

现在极限变为：
$\lim_{x \to +\infty} \left( 5x - \sqrt{25x^2 - bx + c} \right) = 2$

我们对这个表达式进行有理化处理。

令：
$L = \lim_{x \to +\infty} \left( 5x - \sqrt{25x^2 - bx + c} \right)$

乘以共轭式：
$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{(5x - \sqrt{25x^2 - bx + c})(5x + \sqrt{25x^2 - bx + c})}{5x + \sqrt{25x^2 - bx + c}}$

分子是平方差：
$(5x)^2 - (25x^2 - bx + c) = 25x^2 - (25x^2 - bx + c) = bx - c$

分母是：
$5x + \sqrt{25x^2 - bx + c}$

所以：
$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{bx - c}{5x + \sqrt{25x^2 - bx + c}} = 2$

第四步：化简分母

我们来分析分母：
$\sqrt{25x^2 - bx + c} = \sqrt{25x^2\left(1 - \frac{b}{25x} + \frac{c}{25x^2}\right)} = 5x \sqrt{1 - \frac{b}{25x} + \frac{c}{25x^2}}$

利用泰勒展开 $ \sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots $，当 $ u \to 0 $：

$\sqrt{1 - \frac{b}{25x} + \frac{c}{25x^2}} \approx 1 - \frac{b}{50x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$

所以：
$\sqrt{25x^2 - bx + c} \approx 5x \left(1 - \frac{b}{50x} \right) = 5x - \frac{b}{10} + o(1)$

于是分母：
$5x + \sqrt{25x^2 - bx + c} \approx 5x + \left(5x - \frac{b}{10} \right) = 10x - \frac{b}{10} + o(1)$

分子：
$bx - c$

所以整体：
$\frac{bx - c}{10x - \frac{b}{10} + o(1)} \to \frac{b}{10} \quad \text{当 } x \to \infty$

因为分子分母都是一次式，极限为系数比：
$\lim_{x \to \infty} \frac{bx - c}{10x + o(x)} = \frac{b}{10}$

但题目说这个极限等于 2，所以：
$\frac{b}{10} = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 20$

第五步：验证

我们得到：

• $ a = 25 $
• $ b = 20 $

现在验证极限是否为 2。

考虑：
$\lim_{x \to \infty} \left( 5x - \sqrt{25x^2 - 20x + c} \right)$

再次有理化：
$= \lim_{x \to \infty} \frac{25x^2 - (25x^2 - 20x + c)}{5x + \sqrt{25x^2 - 20x + c}} = \lim_{x \to \infty} \frac{20x - c}{5x + \sqrt{25x^2 - 20x + c}}$

分母：
$\sqrt{25x^2 - 20x + c} = 5x \sqrt{1 - \frac{4}{5x} + \frac{c}{25x^2}} \approx 5x \left(1 - \frac{2}{5x} \right) = 5x - 2 + o(1)$

所以分母：
$5x + (5x - 2) = 10x - 2 + o(1)$

分子：$ 20x - c $

所以：
$\frac{20x - c}{10x - 2} \to \frac{20}{10} = 2 \quad \text{当 } x \to \infty$

极限为 2，符合题意。注意常数项 $ c $ 不影响极限值（在分子是 $ -c $，分母是 $ -2 $，但高阶项主导），所以 $ c $ 可以是任意实数，不影响结果。

最终答案：

$\boxed{a = 25, \quad b = 20}$