题目

已知f(0)=0,f'(0)=2，则lim_(n to infty) [ f((1)/(n^2)) - (1)/(n^2) + 1 ]^3n^2 = __________.

已知$f(0)=0,f'(0)=2$，则$\lim_{n \to \infty} \left[ f\left(\frac{1}{n^2}\right) - \frac{1}{n^2} + 1 \right]^{3n^2} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$.

题目解答

答案

我们来求极限： $$ \lim_{n \to \infty} \left[ f\left(\frac{1}{n^2}\right) - \frac{1}{n^2} + 1 \right]^{3n^2} $$ 已知条件是： - $ f(0) = 0 $ - $ f'(0) = 2 $ --- ### 第一步：分析 $ f\left(\frac{1}{n^2}\right) $ 的近似表达式 由于 $ \frac{1}{n^2} \to 0 $，我们可以用 **泰勒展开**（或导数的定义）来近似 $ f\left(\frac{1}{n^2}\right) $。 因为 $ f(0) = 0 $，$ f'(0) = 2 $，所以我们可以写： $$ f(x) \approx f(0) + f'(0)x = 0 + 2x = 2x $$ 当 $ x \to 0 $ 时，这是线性近似。 所以： $$ f\left(\frac{1}{n^2}\right) \approx 2 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{2}{n^2} $$ --- ### 第二步：代入原式 我们代入上面的近似值： $$ f\left(\frac{1}{n^2}\right) - \frac{1}{n^2} + 1 \approx \frac{2}{n^2} - \frac{1}{n^2} + 1 = \frac{1}{n^2} + 1 $$ 所以原极限变为： $$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^{3n^2} $$ --- ### 第三步：使用重要极限公式 我们知道一个重要极限： $$ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e $$ 我们来把这个形式和我们的问题联系起来： 令 $ x = \frac{1}{n^2} $，那么： $$ \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^{3n^2} = \left(1 + x\right)^{3/x} $$ 所以： $$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^{3n^2} = \lim_{x \to 0^+} (1 + x)^{3/x} = e^3 $$ --- ### 最终答案： $$ \boxed{e^3} $$

解析

考查要点：本题主要考查利用导数的定义进行泰勒展开、重要极限公式的应用，以及极限的运算技巧。

解题核心思路：

  1. 泰勒展开近似：利用已知条件$f(0)=0$和$f'(0)=2$，对$f\left(\frac{1}{n^2}\right)$进行一阶泰勒展开，忽略高阶无穷小。
  2. 化简表达式：将展开结果代入原式，化简为$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{3n^2}$的形式。
  3. 应用重要极限：通过变量替换，将表达式转化为重要极限$\lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x}=e$的变形形式，最终求得结果。

破题关键点：

  • 正确近似$f\left(\frac{1}{n^2}\right)$：利用导数定义或泰勒展开，得到$f\left(\frac{1}{n^2}\right) \approx \frac{2}{n^2}$。
  • 识别重要极限结构：将$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{3n^2}$与$\lim_{x \to 0}(1+x)^{k/x}=e^k$对应。

第一步：泰勒展开近似

由$f(0)=0$和$f'(0)=2$，对$f(x)$在$x=0$处进行一阶泰勒展开：
$f(x) \approx f(0) + f'(0)x = 0 + 2x = 2x.$
因此，当$x = \frac{1}{n^2}$时：
$f\left(\frac{1}{n^2}\right) \approx 2 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{2}{n^2}.$

第二步：代入原式并化简

将$f\left(\frac{1}{n^2}\right) \approx \frac{2}{n^2}$代入原式：
$\begin{aligned}f\left(\frac{1}{n^2}\right) - \frac{1}{n^2} + 1 &\approx \frac{2}{n^2} - \frac{1}{n^2} + 1 \\&= \frac{1}{n^2} + 1.\end{aligned}$
原极限变为：
$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{3n^2}.$

第三步：应用重要极限公式

令$x = \frac{1}{n^2}$，当$n \to \infty$时，$x \to 0$。原式可改写为：
$\left(1 + x\right)^{\frac{3}{x}}.$
根据重要极限$\lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x} = e$，得：
$\lim_{x \to 0} (1+x)^{3/x} = e^3.$