题目
设随机变量X与Y的相关系数为0.8，若Z=X-2，则Y与 Z的相关系数为 ( A ) 0 ( B ) 1 ( C ) 0.4 ( D ) 0.8
设随机变量X与Y的相关系数为0.8，若Z=X-2，则Y与 Z的相关系数为
( A ) 0
( B ) 1
( C ) 0.4
( D ) 0.8
题目解答
答案
根据相关系数计算公式:
所以
根据协方差的性质:
根据协方差计算公式: 
所以
根据期望的性质：
E(aX)=aE(X)，E(C)=C（C为常数）所以
根据方差的性质：D(g(x)+C)=D(g(x))
所以D(X-2)=D(X)。
根据相关系数计算公式:所以将上述求出的结果带入得
根据相关系数计算公式:由于XY的相关系数为0.8，所以
又因为
所以Y与Z的相关系数为0.8。所以D选项正确。因此本题选D。
解析
步骤 1：相关系数的定义
相关系数 $\rho_{XY}$ 定义为：$\rho_{XY} = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。
步骤 2：计算 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数
根据相关系数的定义，$Y$ 与 $Z$ 的相关系数为：$\rho_{YZ} = \dfrac{Cov(Y,Z)}{\sqrt{D(Y)D(Z)}}$。由于 $Z = X - 2$，则 $Cov(Y,Z) = Cov(Y,X-2)$。
步骤 3：利用协方差的性质
根据协方差的性质，$Cov(Y,X-2) = Cov(Y,X) - Cov(Y,2)$。由于 $Cov(Y,2) = 0$（因为 $2$ 是常数），所以 $Cov(Y,X-2) = Cov(Y,X)$。
步骤 4：计算 $D(Z)$
根据方差的性质，$D(Z) = D(X-2) = D(X)$（因为常数的方差为0）。
步骤 5：代入相关系数的定义
将上述结果代入相关系数的定义，得到 $\rho_{YZ} = \dfrac{Cov(Y,X)}{\sqrt{D(Y)D(X)}}$。由于 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为0.8，即 $\rho_{XY} = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = 0.8$，所以 $\rho_{YZ} = 0.8$。
相关系数 $\rho_{XY}$ 定义为：$\rho_{XY} = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。
步骤 2：计算 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数
根据相关系数的定义，$Y$ 与 $Z$ 的相关系数为：$\rho_{YZ} = \dfrac{Cov(Y,Z)}{\sqrt{D(Y)D(Z)}}$。由于 $Z = X - 2$，则 $Cov(Y,Z) = Cov(Y,X-2)$。
步骤 3：利用协方差的性质
根据协方差的性质，$Cov(Y,X-2) = Cov(Y,X) - Cov(Y,2)$。由于 $Cov(Y,2) = 0$（因为 $2$ 是常数），所以 $Cov(Y,X-2) = Cov(Y,X)$。
步骤 4：计算 $D(Z)$
根据方差的性质，$D(Z) = D(X-2) = D(X)$（因为常数的方差为0）。
步骤 5：代入相关系数的定义
将上述结果代入相关系数的定义，得到 $\rho_{YZ} = \dfrac{Cov(Y,X)}{\sqrt{D(Y)D(X)}}$。由于 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为0.8，即 $\rho_{XY} = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = 0.8$，所以 $\rho_{YZ} = 0.8$。