题目

2.[填空题]2 解三元方程组}x_(1)-2x_(2)+x_(3)=1x_(1)+x_(2)+x_(3)=5-x_(1)+x_(2)+x_(3)=2D=D_(1)=D_(2)=D_(3)=x_(1)=x_(2)=x_(3)=

2.[填空题] 2 解三元方程组 $\begin{cases}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=5\\-x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\end{cases}$ D= $D_{1}=$ $D_{2}=$ $D_{3}=$ $x_{1}=$ $x_{2}=$ $x_{3}=$

题目解答

答案

为了解这个三元方程组，我们可以使用克拉默法则。克拉默法则指出，对于一个三元线性方程组 $ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases} $，解 $ x_1, x_2, x_3 $ 可以表示为： \[ x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}, \quad x_3 = \frac{D_3}{D}, \] 其中 $ D $ 是系数矩阵的行列式， $ D_1, D_2, D_3 $ 分别是将系数矩阵的第1列、第2列、第3列替换为常数列 $ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} $ 后得到的行列式。 首先，我们写出系数矩阵和常数列： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}. \] 计算系数矩阵 $ A $ 的行列式 $ D $： \[ D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 0 + 4 + 2 = 6. \] 接下来，计算 $ D_1 $： \[ D_1 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 2 \cdot (5 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1 \cdot (5 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 0 + 6 + 3 = 9. \] 计算 $ D_2 $： \[ D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - 5 \cdot (-1)) = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 7 = 3 - 2 + 7 = 8. \] 计算 $ D_3 $： \[ D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 5 \cdot 1) + 2 \cdot (1 \cdot 2 - 5 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 7 + 1 \cdot 2 = -3 + 14 + 2 = 13. \] 最后，根据克拉默法则，我们得到： \[ x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}, \] \[ x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \] \[ x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{13}{6}. \] 因此，解为： \[ \boxed{\left( \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{13}{6} \right)}. \]

解析

考查要点：本题主要考查使用克拉默法则解三元一次方程组的能力，涉及行列式的计算。

解题核心思路：

  1. 克拉默法则的应用条件是系数矩阵的行列式$D \neq 0$，此时方程组有唯一解。
  2. 关键步骤包括：
    • 构造系数矩阵$A$和常数项向量$B$；
    • 计算系数矩阵的行列式$D$；
    • 分别用常数项替换系数矩阵的第1、2、3列，计算行列式$D_1, D_2, D_3$；
    • 最终解为$x_i = \frac{D_i}{D}$（$i=1,2,3$）。

破题关键点：

  • 行列式展开时需注意符号规则（第一行符号为$+,-,+$）；
  • 替换列时要确保替换位置正确，避免混淆列序。

1. 构造系数矩阵和常数项

系数矩阵$A$和常数项$B$分别为：
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}.$

2. 计算行列式$D$

按第一行展开：
$\begin{aligned}D &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) \\ &= 0 + 4 + 2 = 6. \end{aligned}$

3. 计算$D_1$（替换第一列为$B$）

$\begin{aligned}D_1 &= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 0 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 9. \end{aligned}$

4. 计算$D_2$（替换第二列为$B$）

$\begin{aligned}D_2 &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= 3 - 2 + 7 = 8. \end{aligned}$

5. 计算$D_3$（替换第三列为$B$）

$\begin{aligned}D_3 &= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\ &= -3 + 14 + 2 = 13. \end{aligned}$

6. 求解$x_1, x_2, x_3$

$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{13}{6}.$