题目
1.设总体 X~N（60，152），从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率.
1.设总体 X~N（60，152），从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率.
题目解答
答案
【解】μ=60,σ2=152,n=100XZ~N(0,1)/nZX60 ~N(0,1)即15/10P(|X60| 3)(|P Z| 30/15) 1(|P Z| 2)2[1 (2)]2(1 0.9772)0.0456.
解析
步骤 1：确定总体参数
总体 X 服从正态分布 N(60, 15^2)，其中均值 μ = 60，方差 σ^2 = 15^2 = 225。
步骤 2：确定样本均值的分布
从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，样本均值 \(\bar{X}\) 也服从正态分布，其均值为 μ = 60，方差为 σ^2/n = 225/100 = 2.25，标准差为 \(\sqrt{2.25} = 1.5\)。因此，\(\bar{X} \sim N(60, 1.5^2)\)。
步骤 3：计算概率
我们需要计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率，即 \(P(|\bar{X} - 60| > 3)\)。这等价于计算 \(P(\bar{X} - 60 > 3) + P(\bar{X} - 60 < -3)\)。
将 \(\bar{X} - 60\) 标准化，得到 \(Z = \frac{\bar{X} - 60}{1.5}\)。因此，\(P(|\bar{X} - 60| > 3) = P(|Z| > \frac{3}{1.5}) = P(|Z| > 2)\)。
根据标准正态分布表，\(P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228\)。因此，\(P(|Z| > 2) = 2 \times 0.0228 = 0.0456\)。
总体 X 服从正态分布 N(60, 15^2)，其中均值 μ = 60，方差 σ^2 = 15^2 = 225。
步骤 2：确定样本均值的分布
从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，样本均值 \(\bar{X}\) 也服从正态分布，其均值为 μ = 60，方差为 σ^2/n = 225/100 = 2.25，标准差为 \(\sqrt{2.25} = 1.5\)。因此，\(\bar{X} \sim N(60, 1.5^2)\)。
步骤 3：计算概率
我们需要计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率，即 \(P(|\bar{X} - 60| > 3)\)。这等价于计算 \(P(\bar{X} - 60 > 3) + P(\bar{X} - 60 < -3)\)。
将 \(\bar{X} - 60\) 标准化，得到 \(Z = \frac{\bar{X} - 60}{1.5}\)。因此，\(P(|\bar{X} - 60| > 3) = P(|Z| > \frac{3}{1.5}) = P(|Z| > 2)\)。
根据标准正态分布表，\(P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228\)。因此，\(P(|Z| > 2) = 2 \times 0.0228 = 0.0456\)。