已知f(z)可导且实部u(x,y)=3xy²-x²y，则f'(z)=A. 3y²-2xy+i(6xy-x²)B. 3y²-2xy-i(6xy-x²)C. 6xy-x²+i(3y²-2xy)D. 6xy-x²-i(3y²-2xy)

本题考查复变函数导数的计算，核心在于利用柯西-黎曼方程将实部偏导数转化为复变函数的导数。解题关键点：

1. 计算实部$u(x,y)$的偏导数$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partial y}$；
2. 根据柯西-黎曼方程，导数$f'(z)$可表示为$\frac{\partial u}{\partial x} - i\frac{\partial u}{\partial y}$；
3. 代入偏导数结果，匹配选项。

步骤1：计算偏导数

• $\frac{\partial u}{\partial x}$：对$x$求偏导，$u=3xy^2 -x^2y$，得：
  $\frac{\partial u}{\partial x} = 3y^2 - 2xy$
• $\frac{\partial u}{\partial y}$：对$y$求偏导，得：
  $\frac{\partial u}{\partial y} = 6xy - x^2$

步骤2：应用柯西-黎曼公式

根据柯西-黎曼方程，复变函数导数为：
$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} - i\frac{\partial u}{\partial y}$
代入偏导数结果：
$f'(z) = (3y^2 - 2xy) - i(6xy - x^2)$

步骤3：匹配选项

对比选项，B选项为$3y^2 - 2xy - i(6xy - x^2)$，与计算结果一致。