题目

17.设随机变量x与y相互独立，其概率分布分别为：x01p0.40.6y01p0.40.6

17.设随机变量x与y相互独立，其概率分布分别为： x 0 1 p 0.4 0.6 y 0 1 p 0.4 0.6

题目解答

答案

随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，其概率分布均为： \[ \begin{array}{c|cc} & 0 & 1 \\ \hline P & 0.4 & 0.6 \\ \end{array} \] 计算 $Z = X + Y$ 的概率分布： 1. **$Z = 0$**：$X = 0$ 且 $Y = 0$ \[ P(Z = 0) = 0.4 \times 0.4 = 0.16 \] 2. **$Z = 1$**：$X = 0$ 且 $Y = 1$ 或 $X = 1$ 且 $Y = 0$ \[ P(Z = 1) = (0.4 \times 0.6) + (0.6 \times 0.4) = 0.24 + 0.24 = 0.48 \] 3. **$Z = 2$**：$X = 1$ 且 $Y = 1$ \[ P(Z = 2) = 0.6 \times 0.6 = 0.36 \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{c|c} Z & P(Z) \\ \hline 0 & 0.16 \\ 1 & 0.48 \\ 2 & 0.36 \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查独立随机变量和的分布计算，需要结合独立事件的概率乘法公式，通过枚举所有可能的组合来求解。

解题核心思路：

  1. 确定可能取值：根据$X$和$Y$的取值范围，确定$Z = X + Y$的可能取值为$0, 1, 2$。
  2. 分类讨论：对每个可能的$Z$值，找到所有满足$X + Y = Z$的$(X, Y)$组合。
  3. 独立性应用：利用$X$与$Y$独立的性质，计算每对$(X, Y)$的概率并求和。

破题关键点：

  • 独立事件的联合概率：$P(X = x, Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)$。
  • 穷举所有组合：确保不遗漏任何可能的组合，避免计算错误。

步骤1：确定$Z$的可能取值

$X$和$Y$均取$0$或$1$，因此$Z = X + Y$的可能取值为：

  • $Z = 0$（当$X=0$且$Y=0$时）
  • $Z = 1$（当$X=0$且$Y=1$，或$X=1$且$Y=0$时）
  • $Z = 2$（当$X=1$且$Y=1$时）

步骤2：计算各取值的概率

  1. $Z = 0$
    唯一组合：$X=0$且$Y=0$
    $P(Z=0) = P(X=0) \cdot P(Y=0) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$

  2. $Z = 1$
    两种组合：

    • $X=0$且$Y=1$：$0.4 \times 0.6 = 0.24$
    • $X=1$且$Y=0$：$0.6 \times 0.4 = 0.24$
      $P(Z=1) = 0.24 + 0.24 = 0.48$

  3. $Z = 2$
    唯一组合：$X=1$且$Y=1$
    $P(Z=2) = P(X=1) \cdot P(Y=1) = 0.6 \times 0.6 = 0.36$

步骤3：验证概率和为1

$0.16 + 0.48 + 0.36 = 1.0$
验证通过，计算正确。