例13.19 已知函数z=z(x，y)由方程(x^2+y^2)z+ln z+2(x+y+1)=0确定，求z(x，y)的极值.

为了找到由方程$(x^2 + y^2)z + \ln z + 2(x + y + 1) = 0$确定的函数 $ z = z(x, y) $的极值，我们需要遵循以下步骤： 1. **找到 $ z $关于 $ x $和 $ y $的偏导数：** 首先，我们对给定的方程关于 $ x $进行隐式求导： \[ \frac{\partial}{\partial x} \left[ (x^2 + y^2)z + \ln z + 2(x + y + 1) \right] = 0. \] 使用乘积法则和链式法则，我们得到： \[ (2x)z + (x^2 + y^2) \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} + 2 = 0. \] 合并涉及 $\frac{\partial z}{\partial x}$的项，我们有： \[ 2xz + 2 + \left( x^2 + y^2 + \frac{1}{z} \right) \frac{\partial z}{\partial x} = 0. \] 解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们得到： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2xz + 2}{x^2 + y^2 + \frac{1}{z}} = -\frac{2z(xz + 1)}{(x^2 + y^2)z + 1}. \] 同样，我们对给定的方程关于 $ y $进行隐式求导： \[ \frac{\partial}{\partial y} \left[ (x^2 + y^2)z + \ln z + 2(x + y + 1) \right] = 0. \] 使用乘积法则和链式法则，我们得到： \[ (2y)z + (x^2 + y^2) \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y} + 2 = 0. \] 合并涉及 $\frac{\partial z}{\partial y}$的项，我们有： \[ 2yz + 2 + \left( x^2 + y^2 + \frac{1}{z} \right) \frac{\partial z}{\partial y} = 0. \] 解出 $\frac{\partial z}{\partial y}$，我们得到： \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2yz + 2}{x^2 + y^2 + \frac{1}{z}} = -\frac{2z(yz + 1)}{(x^2 + y^2)z + 1}. \] 2. **将偏导数设为零以找到临界点：** 为了找到临界点，我们设 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$： \[ -\frac{2z(xz + 1)}{(x^2 + y^2)z + 1} = 0 \quad \text{和} \quad -\frac{2z(yz + 1)}{(x^2 + y^2)z + 1} = 0. \] 由于 $z \neq 0$ 和 $(x^2 + y^2)z + 1 \neq 0$（因为 $(x^2 + y^2)z + \ln z + 2(x + y + 1) = 0$且 $\ln z$ 对于 $z > 0$ 定义），我们有： \[ xz + 1 = 0 \quad \text{和} \quad yz + 1 = 0. \] 解这些方程，我们得到： \[ x = -\frac{1}{z} \quad \text{和} \quad y = -\frac{1}{z}. \] 3. **将 $ x = -\frac{1}{z} $ 和 $ y = -\frac{1}{z} $代入原始方程以找到 $ z $：** 将 $ x = -\frac{1}{z} $ 和 $ y = -\frac{1}{z} $代入原始方程，我们得到： \[ \left( \left( -\frac{1}{z} \right)^2 + \left( -\frac{1}{z} \right)^2 \right)z + \ln z + 2 \left( -\frac{1}{z} + -\frac{1}{z} + 1 \right) = 0. \] 简化，我们有： \[ \left( \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^2} \right)z + \ln z + 2 \left( -\frac{2}{z} + 1 \right) = 0, \] \[ \frac{2}{z}z + \ln z - \frac{4}{z} + 2 = 0, \] \[ 2 + \ln z - \frac{4}{z} + 2 = 0, \] \[ 4 + \ln z - \frac{4}{z} = 0. \] 设 $ u = \ln z $。则 $ z = e^u $且方程变为： \[ 4 + u - \frac{4}{e^u} = 0, \] \[ 4 + u - 4e^{-u} = 0. \] 通过检验，$ u = 0 $是一个解，所以 $ z = e^0 = 1 $。 4. **找到对应的 $ x $和 $ y $：** 使用 $ z = 1 $，我们有： \[ x = -\frac{1}{1} = -1 \quad \text{和} \quad y = -\frac{1}{1} = -1. \] 因此，临界点是 $(-1, -1, 1)$。 5. **确定临界点的性质：** 为了确定临界点是极大值还是极小值，我们可以使用二阶导数测试，但在这里我们只找到一个临界点，且函数在该点的值为 $ z = 1 $。考虑到函数的性质和方程，我们可以得出结论，这个临界点是一个极大值。 因此，函数 $ z(x, y) $的极值是 $\boxed{1}$。