设随机过程 Y(t) = X_1 cos omega_0 t - X_2 sin omega_0 t，若 X_1 与 X_2 是彼此独立且均值为 0、方差为 sigma^2 的高斯随机变量，试求：(1) E[Y(t)]、E[Y^2(t)]；(2) Y(t) 的一维分布密度函数 f(y)；(3) Y(t) 的相关函数 R(t_1, t_2) 和协方差函数 B(t_1, t_2).
设随机过程 $Y(t) = X_1 \cos \omega_0 t - X_2 \sin \omega_0 t$，若 $X_1$ 与 $X_2$ 是彼此独立且均值为 0、方差为 $\sigma^2$ 的高斯随机变量，试求：
(1) $E[Y(t)]$、$E[Y^2(t)]$；
(2) $Y(t)$ 的一维分布密度函数 $f(y)$；
(3) $Y(t)$ 的相关函数 $R(t_1, t_2)$ 和协方差函数 $B(t_1, t_2)$.
题目解答
答案
(1) 由 $ Y(t) = X_1 \cos \omega_0 t - X_2 \sin \omega_0 t $，其中 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 独立且均值为0，方差为 $ \sigma^2 $，得
$ E[Y(t)] = E[X_1] \cos \omega_0 t - E[X_2] \sin \omega_0 t = 0 $，
$ E[Y^2(t)] = E[X_1^2] \cos^2 \omega_0 t + E[X_2^2] \sin^2 \omega_0 t = \sigma^2 $。
(2) $ Y(t) $ 为高斯随机变量，均值为0，方差为 $ \sigma^2 $，其概率密度函数为
$ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} $。
(3) 相关函数 $ R(t_1, t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = \sigma^2 \cos(\omega_0 (t_1 - t_2)) $，
协方差函数 $ B(t_1, t_2) = R(t_1, t_2) = \sigma^2 \cos(\omega_0 (t_1 - t_2)) $（因 $ E[Y(t)] = 0 $）。
答案：
(1) $ E[Y(t)] = 0 $，$ E[Y^2(t)] = \sigma^2 $；
(2) $ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} $；
(3) $ R(t_1, t_2) = B(t_1, t_2) = \sigma^2 \cos(\omega_0 (t_1 - t_2)) $。