13.(1)设θ是参数θ的无偏估计,且有 (hat (theta ))gt 0, 试证 (overrightarrow {theta )}^2=((overrightarrow {theta ))}^2 不是θ^2的-|||-无偏估计.-|||-(2)试证明均匀分布-|||-f(x)= { , 0lt xleqslant theta 0, .
题目解答
答案
解析
（1）证明证明$\hat{\theta}^2\prime = (\hat{\theta})^2$不是$\theta^2$的无偏估计
考察知识：无偏估计量的无偏性定义（$E(\hat{\theta}) = \theta$则为无偏估计）、方差与期望的关系（$D(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}^2) - [E(\hat{\theta})]^2$）。
解题思路：利用方差公式推导$E(\hat{\theta}^2)$，判断是否等于$\theta^2$。
步骤：
已知$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计，故$E(\hat{\theta}) = \theta$；且$D(\hat{\theta}) > 0$（方差大于0）。
由方差公式：$D(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}^2) - [E(\hat{\theta})]^2$，移项得$E(\hat{\theta}^2) = D(\hat{\theta}) + [E(\hat{\theta})]^2$。
代入$E(\hat{\theta}) = \theta$，得$E(\hat{\theta}^2) = D(\hat{\theta}) + \theta^2$。
因$D(\hat{\theta}) > 0$，故$E(\hat{\theta})^2$的期望$E(\hat{\theta}^2) = \theta^2 + D(\hat{\theta}) > \theta^2$，不满足无偏估计定义，因此$(\hat{\theta})^2$不是$\theta^2$的无偏估计。
（2）证明均匀分布$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0 考察知识：最大似然估计量计算、无偏性验证（计算估计量的期望是否等于$\theta$）。 步骤1：求最大似然估计量 似然函数：样本$X_1,\dots,X_n$的似然函数$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(X_i)=\begin{cases}\frac{1}{\theta^n},&0 步骤2：验证无偏性 总体分布函数：$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x}{\theta},&0\leq x\leq\theta\\1,&x>\theta\end{cases}$。
解题思路：①求最大似然估计量；②计算该估计量的期望，判断是否等于$\theta$。
$\hat{\theta}=X_{(n)}$的分布函数：$F_{\hat{\theta}}(z)=P(\hat{\theta}\leq z)=[F(z)]^n$，即：
$F_{\hat{\theta}}(z)=\begin{cases}0,&z<0\\\left(\frac{z}{\theta}\right)^n,&0\leq z\leq\theta\\1,&z>\theta\end{cases}$
概率密度函数：$f_{\hat{\theta}}(z)=F'_{\hat{\theta}}(z)=\begin{cases}\frac{n}{\theta}\left(\frac{z}{\theta}\right)^{n-1},&0\leq z\leq\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
计算期望：
$E(\hat{\theta})=\int_{-\infty}^\infty z f_{\hat{\theta}}(z)\text{d}z=\int_0^\theta z\cdot\frac{n}{\theta}\left(\frac{z}{\theta}\right)^{n-1\text{d}z=\frac{n}{\theta^n}\int_0^\theta z^n\text{d}z=\frac{n}{\theta^n}\cdot\left[\frac{z^{n+1}}{n+1}\right]_0^\theta=\frac{n\theta}{n+1}$
因$\frac{n}{n+1}<1$，故$E(\hat{\theta})=\frac{n\theta}{n+1}\neq\theta$，不满足无偏估计定义，因此$\hat{\theta}$不是$\theta$的无偏估计。